Question

[Bùi Thanh Tâm]

Cho tam giác ABC Vuông tại A , lấy điểm M thuộc cạnh huyền BC (M không trung B và C.) gỌI D và E theo thứ tự là chân đường vuông góc hẻ từ M đến AB, AC

a, tứ giác AEMD là hình gì?

b, Gọi P là điểm đối xứng của M qua D, K là điểm đối xứng của M qua E và I là trung điểm cưa DE. CM P đối xứng với K qua A

c, Khi M chuyển động tren đoạn BC thì I Chuyển động trên đương nào

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a) Xét tứ giác AEMD có

\(\widehat{EAD}=90^0\)(\(\widehat{BAC}=90^0\), E∈AC, D∈AB)

\(\widehat{AEM}=90^0\)(ME⊥AC)

\(\widehat{ADM}=90^0\)(MD⊥AB)

Do đó: AEMD là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

b)

Ta có: K và M đối xứng nhau qua E(gt)

nên E là trung điểm của KM

Xét ΔAKM có

AE là đường cao ứng với cạnh KM(AE⊥ME, K∈ME)

AE là đường trung tuyến ứng với cạnh KM(E là trung điểm của KM)

Do đó: ΔAKM cân tại A(Định lí tam giác cân)

mà AE là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy KM(E là trung điểm của KM)

nên AE là tia phân giác của \(\widehat{KAM}\)(Định lí tam giác cân)

hay \(\widehat{KAE}=\widehat{MAE}\)

Ta có: M và P đối xứng nhau qua D(gt)

nên D là trung điểm của MP

Xét ΔAMP có

AD là đường cao ứng với cạnh MP(AD⊥MD, P∈MD)

AD là đường trung tuyến ứng với cạnh MP(D là trung điểm của MP)

Do đó: ΔAMP cân tại A(Định lí tam giác cân)

mà AD là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy MP(D là trung điểm của MP)

nên AD là tia phân giác của \(\widehat{MAP}\)(Định lí tam giác cân)

hay \(\widehat{PAD}=\widehat{MAD}\)

Ta có: tia AM nằm giữa hai tia AE, AD

nên \(\widehat{EAM}+\widehat{DAM}=\widehat{EAD}\)

hay \(\widehat{EAM}+\widehat{DAM}=90^0\)

Ta có: \(\widehat{KAP}=\widehat{KAE}+\widehat{MAE}+\widehat{MAD}+\widehat{PAD}\)

\(\Leftrightarrow\widehat{KAP}=2\cdot\left(\widehat{MAE}+\widehat{MAD}\right)\)

\(\Leftrightarrow\widehat{KAP}=2\cdot90^0=180^0\)

⇔K,A,P thẳng hàng(1)

Ta có: ΔAKM cân tại A(cmt)

nên AK=AM

Ta có: ΔAMP cân tại A(cmt)

nên AM=AP

mà AK=AM(cmt)

nên AP=AK(2)

Từ (1) và (2) suy ra A là trung điểm của KP

hay P đối xứng với K qua A(đpcm)