tìm m để hệ có nghiệm
\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}=3\\x\sqrt{y+1}+y\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}+\sqrt{x+1}=m\end{matrix}\right.\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
26 tháng 8 2021
Lời giải: ĐK: $x,y\geq 2$
HPT \(\Rightarrow \sqrt{x+1}-\sqrt{y+1}+(\sqrt{y-2}-\sqrt{x-2})=0\)
\(\Leftrightarrow (x-y).\left[\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}}-\frac{1}{\sqrt{y-2}+\sqrt{x-2}}\right]=0\)
\(\Leftrightarrow x-y=0\) (do dễ thấy biểu thức trong ngoặc vuông luôn âm)
\(\Leftrightarrow x=y\)
Khi đó: $\sqrt{x+1}+\sqrt{x-2}=\sqrt{m}$
$\Leftrightarrow 2x-1+2\sqrt{(x+1)(x-2)}=m$
Để hpt có nghiệm thì pt trên có nghiệm
$\Leftrightarrow m\geq \min (2x-1+2\sqrt{(x+1)(x-2)})$
$\Leftrightarrow m\geq 2.2-1+2.0=3$
Vậy $m\geq 3$
HP
18 tháng 12 2020
ĐK: \(x,y\ge0\)
\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}+\sqrt{y}=1\\x\sqrt{x}+y\sqrt{y}=1-3m\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}+\sqrt{y}=1\\\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(x+y-\sqrt{xy}\right)=1-3m\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}+\sqrt{y}=1\\\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2-3\sqrt{xy}=1-3m\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}+\sqrt{y}=1\\\sqrt{xy}=m\end{matrix}\right.\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}=a\\\sqrt{y}=b\end{matrix}\right.\left(a,b\ge0\right)\)
\(\Rightarrow a,b\) là nghiệm phương trình \(t^2-t+m=0\left(1\right)\)
Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi phương trình \(\left(1\right)\) có nghiệm không âm
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta=1-4m\ge0\\x_1+x_2\ge0\\x_1x_2\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\le\dfrac{1}{4}\\1\ge0\\m\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow0\le m\le\dfrac{1}{4}\)
H
12 tháng 4 2021
ĐKXĐ : \(0\le x,y\le1\)
Ta có :
\(\sqrt{x}+\sqrt{1-y}=m+1;\sqrt{y}+\sqrt{1-x}=m+1\\ \Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{1-y}=\sqrt{y}+\sqrt{1-x}\Rightarrow\sqrt{x}-\sqrt{y}=\sqrt{1-x}-\sqrt{1-y}\)
\(TH1:\ 1\ge x>y\ge0\Rightarrow\sqrt{x}>\sqrt{y};\sqrt{1-x}< \sqrt{1-y}\\ \Rightarrow\sqrt{x}-\sqrt{y}>0;\sqrt{1-x}-\sqrt{1-y}< 0\\ \Rightarrow\sqrt{x}-\sqrt{y}>\sqrt{1-x}-\sqrt{1-y}\left(VL\right)\)
\(TH2:\ 1\ge y>x\ge0. Tương\ tự:vôlý\)
TH3: x=y. Khi đó hệ phương trình trở thành
\(\sqrt{x}+\sqrt{1-x}=m+1\)
Áp dụng bất đẳng thức \(\sqrt{A+B}\le\sqrt{A}+\sqrt{B}\le\sqrt{2\left(A+B\right)}\) ta có:
\(1\le m+1\le\sqrt{2}\Leftrightarrow0\le m\le\sqrt{2}-1\)
24 tháng 5 2021
\(\left\{{}\begin{matrix}x+2y=5m-1\\-2x+y=2\end{matrix}\right.< =>\left\{{}\begin{matrix}2x+4y=10m-2\\-2x+y=2\end{matrix}\right.\)
\(< =>\left\{{}\begin{matrix}5y=10m\\-2x+y=2\end{matrix}\right.< =>\left\{{}\begin{matrix}y=2m\\x=m-1\end{matrix}\right.\)
=>\(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{2}\left(1\right)\)
=>\(\sqrt{m-1}+\sqrt{2m}=\sqrt{2}\) (\(m\ge1\))
\(< =>\left(\sqrt{m-1}\right)^2=|\left(\sqrt{2}-\sqrt{2m}\right)^2|\)
<=>\(m-1=\left[\sqrt{2}.\left(1-\sqrt{m}\right)\right]^2< =>m-1=|2.\left(1-\sqrt{m}\right)^2|\)
<=>\(m-1=|2\left(1-2\sqrt{m}+m\right)|=\left|2-4\sqrt{m}+2m\right|\)
với \(\left|2-4\sqrt{m}+2m\right|=2-4\sqrt{m}+2m< =>m\le1\)
ta có pt:
<=>\(m-1-2+4\sqrt{m}-2m=0\)
\(< =>-m+4\sqrt{m}-3=0< =>-\left(m-4\sqrt{m}+3\right)=0\)
<=>\(m-4\sqrt{m}+3=0< =>\left(\sqrt{m}-3\right)\left(\sqrt{m}-1\right)=0\)
<=>\(\left[{}\begin{matrix}\sqrt{m}-3=0\\\sqrt{m}-1=0\end{matrix}\right.< =>\left[{}\begin{matrix}m=9\left(loai\right)\\m=1\left(TM\right)\end{matrix}\right.\)
nếu \(|2-4\sqrt{m}+2m|=-2+4\sqrt{m}-2m< =>m\ge1\)
=>\(-2+4\sqrt{m}-2m=m-1< =>3m-4\sqrt{m}+1=0\)
<=>\(3\left(m-2.\dfrac{2}{3}\sqrt{m}+\dfrac{1}{3}\right)=3\left(m-2.\dfrac{2}{3}\sqrt{m}+\dfrac{4}{9}-\dfrac{4}{9}+\dfrac{1}{3}\right)=0\)
<=>\(\left(\sqrt{m}-1\right)\left(\sqrt{m}-\dfrac{1}{3}\right)=0\)=>\(\left[{}\begin{matrix}\sqrt{m}-1=0\\\sqrt{m}-\dfrac{1}{3}=0\end{matrix}\right.< =>\left\{{}\begin{matrix}m=1\left(TM\right)\\m=\dfrac{1}{3}\left(loai\right)\end{matrix}\right.\)
vậy m=1 thì pt đã cho có 2 nghiệm (x,y) thỏa mãn
\(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{2}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 11 2019
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}=a\ge0\\\sqrt{y}=b\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=1\\a^3+b^3=1-3m\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=1\\\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)=1-3m\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=1\\ab=m\end{matrix}\right.\)
Để hệ đã cho có nghiệm
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1\ge4m\\1>0\\m\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow0\le m\le\frac{1}{4}\)
10 tháng 1 2021
1) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}3\sqrt{x}-\sqrt{y}=5\\2\sqrt{x}+3\sqrt{y}=18\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}9\sqrt{x}-3\sqrt{y}=15\\2\sqrt{x}+3\sqrt{y}=18\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}11\sqrt{x}=33\\3\sqrt{x}-\sqrt{y}=5\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}=3\\\sqrt{y}=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=9\\y=16\end{matrix}\right.\)
Vậy: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left\{{}\begin{matrix}x=9\\y=16\end{matrix}\right.\)
2) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+3}-2\sqrt{y+1}=2\\2\sqrt{x+3}+\sqrt{y+1}=4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2\sqrt{x+3}+4\sqrt{y+1}=-4\\2\sqrt{x+3}+\sqrt{y+1}=4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}5\sqrt{y+1}=0\\\sqrt{x+3}-2\sqrt{y+1}=2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{y+1}=0\\\sqrt{x+3}=2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y+1=0\\x+3=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=-1\\x=1\end{matrix}\right.\)
Vậy: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=-1\end{matrix}\right.\)
29 tháng 4 2023
4. Đk: \(x,y\ge0\)
\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}+\sqrt{y+1}=1\\\sqrt{y}+\sqrt{x+1}=1\end{matrix}\right.\left(1\right)\)
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}+\sqrt{y+1}\ge0+1=1\\\sqrt{y}+\sqrt{x+1}\ge0+1=1\end{matrix}\right.\left(2\right)\)
\(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}=0,\sqrt{x+1}=1\\\sqrt{y}=0,\sqrt{y+1}=1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=0\end{matrix}\right.\)<tmđk>
Vậy hệ pt có nghiệm \(\left(x,y\right)=\left(0;0\right)\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 12 2021
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{7x+y}=a\ge0\\\sqrt{x+y}=b\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x-y=\dfrac{a^2-4b^2}{3}\)
Hệ trở thành:
\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=6\\b+\dfrac{a^2-4b^2}{3}=m\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow6-a+\dfrac{a^2-4\left(6-a\right)^2}{3}=m\)
\(\Leftrightarrow-a^2+15a-42=m\)
Với \(0\le a\le6\Rightarrow-42\le-a^2+15a-42\le12\)
\(\Rightarrow-42\le m\le12\)
ĐKXĐ: ...
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+1}=a\ge0\\\sqrt{y+1}=b\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=3\\\left(a^2-1\right)b+\left(b^2-1\right)a+a+b=m\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=3\\a^2b+ab^2=m\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=3\\ab\left(a+b\right)=m\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=3\\ab=\frac{m}{3}\end{matrix}\right.\)
Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi pt:
\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{m}{3}\ge0\\\left(a+b\right)^2\ge4ab\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ge0\\9\ge\frac{4m}{3}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow0\le m\le\frac{27}{4}\)