Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. Gọi M và N lần lượt là điểm chính giữa của cung nhỏ AB và cung nhỏ BC. Hai dây AN và CM cắt nhau tại điểm I. Dây MN cắt các cạnh AB và BC lần lượt tại...

G

G.Dr

31 tháng 5 2020

Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. Gọi M và N lần lượt là điểm chính giữa của cung nhỏ AB và cung nhỏ BC. Hai dây AN và CM cắt nhau tại điểm I. Dây MN cắt các cạnh AB và BC lần lượt tại các điểm H và K. 1) Chứng minh bốn điểm C, N, K, I cùng thuộc một đường tròn. 2) Chứng minh NB2 = NK.NM 3) Chứng minh tứ giác BHIK là hình...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

0

PT

Pham Trong Bach

13 tháng 5 2018

Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. Gọi M và N lần lượt là điểm chính giữa của cung nhỏ AB và cung nhỏ BC. Hai dây AN và CM cắt nhau tại điểm I. Dây MN cắt các cạnh AB và BC lần lượt tại các điểm H và K.

2) Chứng minh N B 2 = N K . N M .

#Toán lớp 9

1

CM

Cao Minh Tâm

13 tháng 5 2018

2) Chứng minh N B 2 = N K . N M .

Ta có N là điểm chính giữa cung B C ⏜ ⇒ B N ⏜ = C N ⏜ ⇒ B M N ^ = C M N ^ (góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau)

Mà C B N ^ = C M N ^ (góc nội tiếp chắn cùng chắn cung C N ⏜ )

C B N ^ = B M N ^ (cùng bằng góc C M N ^ ) ⇒ K B N ^ = B M N ^

Xét Δ K B N v à Δ B M N có:

N ^ chung

K B N ^ = B M N ^

⇒ Δ K B N ∽ Δ B M N ⇒ K N B N = B N M N ⇒ N B 2 = N K . N M

(điều phải chứng minh).

Đúng(0)

PT

Pham Trong Bach

23 tháng 8 2018

Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. Gọi M và N lần lượt là điểm chính giữa của cung nhỏ AB và cung nhỏ BC. Hai dây AN và CM cắt nhau tại điểm I. Dây MN cắt các cạnh AB và BC lần lượt tại các điểm H và K.

3) Chứng minh tứ giác BHIK là hình thoi.

#Toán lớp 9

1

CM

Cao Minh Tâm

23 tháng 8 2018

3) Chứng minh tứ giác BHIK là hình thoi.

Ta có A B C ^ = A N C ^ (góc nội tiếp cùng chắn cung A C ⏜ )

Mà A M C ^ = A H I ^ (góc nội tiếp cùng chắn cung I C ⏜ )

⇒ A B C ^ = I K C ^ Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên H B / / I K (1)

+ Chứng minh tương tự phần 1 ta có tứ giác AMHI nội tiếp

A N C ^ = I K C ^ (góc nội tiếp cùng chắn cung A I ⏜ )

Ta có A B C ^ = A M C ^ (góc nội tiếp cùng chắn cung A C ⏜ )

⇒ A B C ^ = A H I ^ Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên B K / / H I (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BHIK là hình bình hành.

Mặt khác AN, CM lần lượt là các tia phân giác của các góc A và C trong tam giác ABC nên I là giao điêm 3 đường phân giác, do đó BI là tia phân giác góc B

Vậy tứ giác BHIK là hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi).

Đúng(0)

M

Minhmlem

7 tháng 6 2023

Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC . Gọi M và N lần lượt là điểm chính giữa của cung nhỏ AB và cung nhỏ BC . Hai dây AN và CM cắt nhau tại điểm I . Dây MN cắt cạnh AB và BC lần lượt tại các điểm H và K

1. Chứng minh 4 điểm C , N , K . I cùng thuộc 1 đường tròn

2. Chứng minh NB^2 = NK.NM

#Toán lớp 9

0

PT

Pham Trong Bach

2 tháng 4 2019

Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. Gọi M và N lần lượt là điểm chính giữa của cung nhỏ AB và cung nhỏ BC. Hai dây AN và CM cắt nhau tại điểm I. Dây MN cắt các cạnh AB và BC lần lượt tại các điểm H và K.

1) Chứng minh bốn điểm C, N, K, I cùng thuộc một đường tròn.

#Toán lớp 9

1

CM

Cao Minh Tâm

2 tháng 4 2019

1) Chứng minh bốn điểm C, N, K, I cùng thuộc một đường tròn.

Ta có M là điểm chính giữa cung A B ⏜ ⇒ A M ⏜ = B M ⏜ ⇒ M N A ^ = M C B ^

⇒ K N I ^ = I C K ^ . Tứ giác CNKJ có C và N là 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh KJ dưới góc bằng nhau nên CNKJ nội tiếp (dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

Do đó bốn điểm C, N, K, I cùng thuộc một đường tròn.

Đúng(1)

PT

Pham Trong Bach

1 tháng 7 2019

Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. Gọi M và N lần lượt là điểm chính giữa của cung nhỏ AB và cung nhỏ BC. Hai dây AN và CM cắt nhau tại điểm I. Dây MN cắt các cạnh AB và BC lần lượt tại các điểm H và K.4) Gọi P, Q lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK, tam giác MCK và E là trung điểm của đoạn PQ. Vẽ đường kính ND của đường tròn (O) . Chứng minh ba...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

1

CM

Cao Minh Tâm

1 tháng 7 2019

4) Gọi P, Q lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK, tam giác MCK và E là trung điểm của đoạn PQ. Vẽ đường kính ND của đường tròn (O) . Chứng minh ba điểm D, E, K thẳng hàng.

Vì N là điểm chính giữa cung nhỏ BC nên DN là trung trực của BC nên DN là phân giác B D C ^

Ta có K Q C ^ = 2 K M C ^ (góc nọi tiếp bằng nửa góc ở tâm trong dường tròn (Q))

N D C ^ = K M C ^ (góc nội tiếp cùng chắn cung N C ⏜ )

Mà B D C ^ = 2 N D C ^ ⇒ K Q C ^ = B D C ^

Xét 2 tam giác BDC & KQC là các các tam giác vuông tại D và Q có hai góc ở ⇒ B C D ^ = B C Q ^ do vậy D, Q, C thẳng hàng nên KQ//PK

Chứng minh tương tự ta có ta có D, P, B thẳng hàng và DQ//PK

Do đó tứ giác PDQK là hình bình hành nên E là trung điểm của PQ cũng là trung điểm của DK. Vậy D, E, K thẳng hàng (điều phải chứng minh).

Đúng(1)

CH

Cô Hoàng Huyền

Admin VIP

22 tháng 3 2021 - olm

Cho đường tròn $(O)$ ngoại tiếp tam giác nhọn $ABC$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là điểm chính giữa cung nhỏ $AB$ và cung nhỏ $BC$. Hai dây $AN$ và $CM$ cắt nhau tại điểm $I$. Dây $MN$ cắt các cạnh $AB$ và $BC$ lần lượt tại các điểm $H$ và $K$.

1) Chứng minh $C$, $N$, $I$, $K$ cùng thuộc một đường tròn.

2) Chứng minh $NB^2 = NK.NM$.

#Toán lớp 9

1

LS

Lê Sơn Thành

5 tháng 3 2023

a) Do M là điểm chính giữa cung AB nên $A M ⌢ = MB ⌢$ .

Suy ra $ACM^=MCB^$

$= MCB$

(Hai góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau)

Lại có $ACM^=ANM^$

$= A NM$

(Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung)

Nên $INK^=ICK^$

$= I C K$ Xét tứ giác KICN có $INK^=ICK^$ $= I C K$

nên KICN là tứ giác nội tiếp hay C, N, K, I cùng thuộc một đường tròn.

b) Do N là điểm chính giữa cung BC nên $BN ⌢ = NC ⌢$

Vậy thì $BMN^=KBN^$

$= K BN$

(Hai góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau)

Xét tam giác BMN và tam giác KBN có:

Góc B chung

$BMN^=KBN^$

$= K BN$

$\Rightarrow Δ BMN \sim Δ K BN (g - g)$

$\Rightarrow K N BN = BN MN \Rightarrow N B^{2} = N K . NM$ .

Đúng(0)

NP

Nga Phạm

4 tháng 5 2018 - olm

cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. Goik M và N lần lượt là điểm chính giữa cung nhỏ AB và cung nhỏ BC. Hai dây AN và CM cắt nhau tại điểm I. Dây MN cắt các cạnh AB và BC lần lượt tại điểm H và K.a) chứng minh C,N,K,I cùng thuộc một đường tròn.b) chứng minh NB2 =NK.NMc) chứng minh BHIK là hình thoid) gọi P, Q lầm lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK, tam giác MCK và...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

2

ML

Mạnh Lê

5 tháng 5 2018

c.

Tứ giác IKNC là tứ giác nội tiếp (cmt)=> $\widehat{IKC}=\widehat{INC}$(cùng = $\frac{1}{2}sđ\widebat{IC}$)

Xét đt(O) có: $\widehat{ABC}=\widehat{ANC=}\widehat{INC}$(cùng = $\frac{1}{2}sđ\widebat{NC}$)

=> $\widehat{ABC}=\widehat{IKC}$mà 2 góc này ở vị trí đồng vị => IK // HB (dhnb)

Chứng minh tương tự câu a ta có: Tứ giác AMHI là tứ giác nội tiếp => $\widehat{AHI}=\widehat{AMI}=\widehat{AMC}$(cùng = $\frac{1}{2}sđ\widebat{AI}$)

Xét đt(O) có: $\widehat{ABC}=\widehat{AMC}\left(=\frac{1}{2}sđ\widebat{AC}\right)$=> $\widehat{ABC}=\widehat{AHI}$mà 2 góc này ở vị trí đồng vị => HI // BK

Vì M là điểm chính giữa cung nhỏ $\widebat{AB}$(gt) => $sđ\widebat{AM}=sđ\widebat{BM}$

Xét đt(O) có: $\widehat{ACM}=\frac{1}{2}sđ\widebat{AM}$và $\widehat{BCM}=\frac{1}{2}sđ\widebat{BM}$=> $\widehat{ACM}=\widehat{BCM}$=> CM là tia phân giác của $\widehat{ACB}$

CMTT ta có: AN là tia phân giác của $\widehat{BAC}$

Mà 2 dây AN và CM cắt nhau tại I (gt) => BI là tia phân giác của $\widehat{ABC}$hay BI là tia phân giác của $\widehat{HBK}$

Xét tứ giác BHIK có:

* HI // BK (cmt)

* IK // HB (cmt)

=> tứ giác BHIK là hình bình hành (DHNB)

Mà BI là phân giác của $\widehat{HBK}$(cmt) => tứ giác BHIK là hình thoi (dhnb hình thoi)

d. Vì $\widehat{NBK}=\widehat{BMN}=\widehat{BMK}\left(cmt\right)$=> BN là tiếp tuyến tại B của đt (P) ngoại tiếp $\Delta MBK$=> $BN\perp BP$Mà $BN\perp BD$do $\widehat{DBN}=90^o$(góc nội tiếp chắn nửa đt) => B, P , D thẳng hàng

Tương tự ta có: C, Q, D thẳng hàng

$\Delta BPK$và $\Delta DBC$là 2 tam giác cân có chung góc ở đáy => góc ở đỉnh của chúng bằng nhau => $\widehat{BPK}=\widehat{BDC}$Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị => PK // DC (dhnb) => PK // DQ

CMTT ta có: DP // QK => DPKQ là hình bình hành (dhnb HBH) => DK đi qua trung điểm của PQ => D, E, K thẳng hàng (đpcm)

Đúng(0)

ML

Mạnh Lê

5 tháng 5 2018

a. Vì M là điểm chính giữa cung nhỏ $\widebat{AB}$(gt) => $sđ\widebat{AM}=sđ\widebat{MB}$=> $\widehat{ACM}=\widehat{BCM}$(2 góc nội tiếp chắn 2 cung = nhau)

Lại có: $\widehat{ACM}=\widehat{ANM}$(CÙNG = $\frac{1}{2}sđ\widebat{AM}$) => $\widehat{MNA}=\widehat{BCM}$hay $\widehat{KNI}=\widehat{KCI}$(Do M,K,N và A,I,N => $\widehat{MNA}=\widehat{KNI}$; M,I,C và B,K,C => $\widehat{BCM}=\widehat{KCI}$) => IKNC là tứ giác nội tiếp (Dấu hiệu nhận biết)

b. Xét đường tròn (O) có: $\widehat{BMN}=\frac{1}{2}sđ\widebat{BN}$và $\widehat{NBC}=\widehat{NBK}=\frac{1}{2}sđ\widebat{NC}$

mà N là điểm chính giữa cung nhỏ $\widebat{BC}$(gt) => sđ $\widebat{BN}$= sđ $\widebat{NC}$=> $\widehat{BMN}=\widehat{NBK}$

Xét $\Delta BMN$và $\Delta KBN$có:

* $\widehat{N}$chung

* $\widehat{BMN}=\widehat{NBK}$(cmt)

=> $\Delta BMN~\Delta KBN$(g.g) => $\frac{NB}{NK}=\frac{NM}{NB}$<=> $NB^2=NK.NM$(đpcm)

Đúng(0)

HN

hiền nguyễn

9 tháng 5 2023

Cho (O) ngoại tiếp tam giác ABC nhọn. M, N lần lượt là điểm chính giữa của cung AB, BC. AN cắt CM tại I. MN cắt AB tại H, cắt BC tại K . Gọi P, Q lần lượt là tâm ngoại tam giác MBK và MCK. E là trung điểm QP. Kẻ đường kính ND của (O). CMR : E, D, K thẳng hàng

#Toán lớp 9

1

NL

Nguyễn Lê Phước Thịnh

10 tháng 5 2023

NB^2=NK*NM

=>NB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ΔMBK

=>NB vuông góc PB

góc DBN=90 độ

=>DB vuông góc NB

=>P,B,D thẳng hàng

Chứng minh tương tự, ta được: C,Q,K thẳng hàng

ΔKPB cân tại P, ΔDBC cân tại D

=>PK//QD

Chứng minh tương tự, ta được: QK//DB

=>DPKQ là hình bình hành

=>DK cắt PQ tại trung điểm của mỗi đường

=>E,D,K thẳng hàng

Đúng(1)

NT

Nguyễn Thị Ngọc Mai

20 tháng 2 2020 - olm

Cho đường tròn tâm (O) với dây AB cố định không phải đường kính . Gọi C là điểm thuộc cung lớn AB sao cho tam giác ABC nhọn . M,N lần lượt là điểm chính giữa cung nhỏ AB,AC. Gọi I là giao điểm của BN và CM. Dây MN cắt AB và AC lần lượt tại H và K

a, Cm tứ giác BMHI nội tiếp

b, Cm MK.MN=MI.MC

c, Cm tam giác AKI cân tại K và tứ giác AHIK là hình thoi

#Toán lớp 9

0

TT

Trần Tấn Sang g

16 tháng 4 2020 - olm

cho tam giác ABC nhọn AB<AC nội tiếp (O). Gọi D,E,F lần lượt là điểm chính giữa của các cung nhỏ AB,BC,CA. Tiếp tuyến tại A của đường tròn cắt các đường thẳng BC và DF lần lượt tại M,N. Gọi P,Q lần lượt là giào điểm của BC với DF và AE. C/m:

a) AE vuông góc DF

b) MA=MQ, MN=MP

#Toán lớp 9

0

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP