Cho x,y thỏa mãn đẳng thức : \(\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x+2}+\sqrt[3]{y-3}+\sqrt[3]{y-4}=0\)
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= \(x^2
+y^2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 8 2021
\(P=\sqrt{\left(x-3\right)^2+4^2}+\sqrt{\left(y-3\right)^2+4^2}+\sqrt{\left(z-3\right)^2+4^2}\)
\(P\ge\sqrt{\left(x-3+y-3+z-3\right)^2+\left(4+4+4\right)^2}=6\sqrt{5}\)
\(P_{min}=6\sqrt{5}\) khi \(x=y=z=1\)
Mặt khác với mọi \(x\in\left[0;3\right]\) ta có:
\(\sqrt{x^2-6x+25}\le\dfrac{15-x}{3}\)
Thật vậy, BĐT tương đương: \(9\left(x^2-6x+25\right)\le\left(15-x\right)^2\)
\(\Leftrightarrow8x\left(3-x\right)\ge0\) luôn đúng
Tương tự: ...
\(\Rightarrow P\le\dfrac{45-\left(x+y+z\right)}{3}=14\)
\(P_{max}=14\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;3\right)\) và hoán vị
12 tháng 5 2016
Điều kiện \(x\ge-1\) và \(y\ge-2\). Gọi T là tập giá trị của K. Khi đó \(m\in T\) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm :
\(\begin{cases}x-3\sqrt{x+1}=3\sqrt{y+2}-y\\x+y=m\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}3\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{y+2}\right)=m\\x+y=m\end{cases}\) (1)
Đặt \(u=\sqrt{x+1};v=\sqrt{y+2}\), điều kiện \(u\ge0;v\ge0\)
Thay vào (1), ta được :
\(\begin{cases}3\left(u+v\right)=m\\u^2+v^2=m+3\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}u+v=\frac{m}{3}\\uv=\frac{1}{2}\left(\frac{m^2}{9}-m-3\right)\end{cases}\)
Hay u và v là nghiệm của phương trình :
\(t^2-\frac{m}{3}t+\frac{1}{2}\left(\frac{m^2}{9}-m-3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow18t^2-6mt+m^2-9m-27=0\) (2)
Hệ (1) có nghiệm x, y thỏa mãn điều kiện \(x\ge-1\) và \(y\ge-2\) khi và chỉ khi (2) có nghiệm không âm, hay :
\(\begin{cases}\Delta'=-9\left(m^2-18m-54\right)\ge0\\S=\frac{m}{3}\ge0\\P=\frac{m^2-9m-27}{18}\ge0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\frac{9+3\sqrt{21}}{2}\le m\le9+3\sqrt{15}\)
Vậy \(T=\left[\frac{9+3\sqrt{21}}{2};9+3\sqrt{15}\right]\)
Suy ra Max K = \(\frac{9+3\sqrt{21}}{2}\)
Min K = \(9+3\sqrt{15}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
9 tháng 4 2022
Ta có:
\(1.\sqrt{1+x^2}+1.\sqrt{2x}\le\sqrt{\left(1+1\right)\left(1+x^2+2x\right)}=\sqrt{2}\left(x+1\right)\)
Tương tự:
\(\sqrt{1+y^2}+\sqrt{2y}\le\sqrt{2}\left(y+1\right)\) ; \(\sqrt{1+z^2}+\sqrt{2z}\le\sqrt{2}\left(z+1\right)\)
Cộng vế:
\(P\le\sqrt{2}\left(x+y+z+3\right)+\left(2-\sqrt{2}\right)\left(x+y+z\right)\le\sqrt{2}\left(3+3\right)+\left(2-\sqrt{2}\right).3=6+3\sqrt{2}\)
\(P_{max}=6+3\sqrt{2}\) khi \(x=y=z=1\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x+2=a^3\\x+1=b^3\\y-3=c^3\\y-4=d^3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b+c+d=0\\a^3-b^3=1\\c^3-d^3=1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+d=-\left(b+c\right)\\a^3+d^3-\left(b^3+c^3\right)=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+d=-\left(b+c\right)\\\left(a+d\right)\left(a^2-ad+d^2\right)=\left(b+c\right)\left(b^2-bc+c^2\right)\end{matrix}\right.\) (1)
TH1: \(a+d=-\left(b+c\right)\ne0\)
Chia vế cho vế 2 pt (1) ta được:
\(a^2-ad+d^2=-\left(b^2-bc+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-\frac{d}{2}\right)^2+\frac{3d^2}{4}+\left(b-\frac{c}{2}\right)^2+\frac{3c^2}{4}=0\)
\(\Leftrightarrow a=b=c=d=0\) (vô nghiệm)
TH2: \(a+d=-\left(b+c\right)=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-d\\b=-c\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x+2=4-y\Rightarrow x+y=2\)
\(\Rightarrow A=x^2+y^2\ge\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2=2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)