CMR với mọi x,y\(\in\)R\(\ne0\)
thì \(x^4+y^4\le\frac{x^8}{y^2}+\frac{y^8}{x^2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
14 tháng 3 2019
\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\ge3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2+2\ge3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2-3\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)+2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-1\right)\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x^2-xy+y^2\right)\left(x^2-2xy+y^2\right)}{x^2y^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left[\left(x-\frac{1}{2}y\right)^2+\frac{3}{4}y^2\right]\left(x-y\right)^2}{x^2y^2}\ge0\) ( đúng )
Vậy đẳng thức đã được chứng minh .
Dấu \("="\) xảy ra khi \(x=y\)
14 tháng 3 2019
DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG: Dùng AM-GM cũng được mà
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{x^2}{y^2}+1\ge2.\frac{x}{y}\\\frac{y^2}{x^2}+1\ge2.\frac{y}{x}\\\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\end{matrix}\right.\)
Dấu " = " xảy ra <=> x=y
\(\Rightarrow\frac{x^2}{y^2}+1+\frac{y^2}{x^2}+1+2\ge2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+2\)
Có: \(2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+2-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)=\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\left(2-3\right)+2\ge2.\left(-1\right)+2=0\)\(\Rightarrow\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\ge3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\)
Dấu " = " xảy ra <=> x=y
3 tháng 5 2020
Từ gt => \(\hept{\begin{cases}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\sqrt{x}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\sqrt{y}\right)\ge0\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}\le\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{2}\sqrt{xy}\left(1\right)\\x\sqrt{x}\le x\cdot\frac{1}{\sqrt{2}};y\sqrt{y}\le y\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow x\sqrt{x}+y\sqrt{y}\le\frac{1}{\sqrt{2}}\left(x+y\right)\left(2\right)\end{cases}}\)
Lại có \(\hept{\begin{cases}\sqrt{xy}\le xy+\frac{1}{4}\\\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2}\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{2\sqrt{2}}{3}\sqrt{xy}\le\frac{2\sqrt{2}}{3}\left(xy+\frac{1}{4}\right)\left(3\right)\\\frac{\sqrt{2}}{3}\sqrt{xy}\le\frac{\sqrt{2}}{6}\left(x+y\right)\left(4\right)\end{cases}}}\)
Từ (1)(2)(3)(4) ta có:\(x\sqrt{x}+y\sqrt{y}+\sqrt{x}+\sqrt{y}\le\frac{\sqrt{2}}{2}\left(x+y\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{2\sqrt{2}}{3}\left(xy+\frac{1}{4}\right)+\frac{\sqrt{2}}{6}\left(x+y\right)\)
\(\le\frac{2\sqrt{2}}{3}\left(1+x+y+xy\right)\)
=> \(VT=\frac{\sqrt{x}}{1+y}+\frac{\sqrt{y}}{1+x}=\frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}+\sqrt{x}+\sqrt{y}}{1+x+y+xy}\le\frac{2\sqrt{2}}{3}\)
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=\(\frac{1}{2}\)
12 tháng 8 2016
Giả sử : \(y=ax\)
Thay vào giả thiết : \(\frac{ax}{x+ax}+\frac{2\left(ax\right)^2}{x^2+\left(ax\right)^2}+\frac{4\left(ax\right)^4}{x^4+\left(ax\right)^4}+\frac{8\left(ax\right)^8}{x^8-\left(ax\right)^8}=4\)
\(\Leftrightarrow\frac{x.a}{x.\left(a+1\right)}+\frac{x^2.2a^2}{x^2\left(1+a^2\right)}+\frac{x^4.4a^4}{x^4\left(1+a^4\right)}+\frac{x^8.8a^8}{x^8\left(1-a^8\right)}=4\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{a+1}+\frac{2a^2}{a^2+1}+\frac{4a^4}{a^4+1}+\frac{8a^8}{1-a^8}=4\)
Tới đây bạn giải ra , tìm a rồi thay vào y = ax là ra :)
đề cho vậy mà bn
có đề khác cho là \(x^4+y^4\le\frac{x^6}{y^2}+\frac{y^6}{x^2}\) thì mk lm đc rồi nhưng bài nay chưa lm đc