Cho x,y dương và x+y=1
tìm giá trị nhỏ nhất của
\(A=\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)\)
\(B=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)
\(C=\left(1-\frac{1}{x^2}\right)\left(1-\frac{1}{y^2}\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
20 tháng 8 2015
Có thể giải bài toán bằng cách áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz sau đây
Bổ đề. Với mọi số thực \(a,b,c\) và các số dương \(x,y,z\) ta có \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}.\) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\).
Chứng minh. Đầu tiên ta chứng minh \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}.\) Thực vậy bất đẳng thức tương đương với \(\left(ya^2+xb^2\right)\left(x+y\right)\ge xy\left(a+b\right)^2\Leftrightarrow b^2x^2+a^2y^2\ge2abxy\) (Đúng).
Áp dụng bất đẳng thức trên hai lần ta được
\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}.\)
Quay trở lại bài toán, ta có
\(A=\frac{\left(1-x\right)^2}{z}+\frac{\left(1-y\right)^2}{x}+\frac{\left(1-z\right)^2}{y}\ge\frac{\left(1-x+1-y+1-z\right)^2}{z+x+y}=\frac{\left(3-x-y-z\right)^2}{x+y+z}=\frac{1}{2}.\)
Khi \(x=y=z=\frac{2}{3}\) thì \(A=\frac{1}{2}\). Vậy giá trị bé nhất của \(A\) là \(\frac{1}{2}\).
PT
18 tháng 5 2016
Ta có :
\(P=\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}+\frac{z^2}{2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{xyz}\) (1)
Do : \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\), nên từ (1) ta có :
\(P\ge\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}+\frac{z^2}{2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{xyz}\)
\(P\ge\left(\frac{x^2}{2}+\frac{1}{x}\right)+\left(\frac{y^2}{2}+\frac{1}{y}\right)+\left(\frac{z^2}{2}+\frac{1}{z}\right)\) (2)
Xét hàm số \(f\left(t\right)=\frac{t^2}{2}+\frac{1}{t};t>0\)
Ta có : \(f'\left(t\right)=t-\frac{1}{t^2}=\frac{t^3-1}{t^2}\)
Lập bảng biến thiên sau :
Từ đó suy ra :
\(f\left(t\right)\ge\frac{3}{2}\) với mọi \(t>0\)
Vì lẽ đó từ (2) ta có : \(P\ge3.\frac{3}{2}\) với mọi \(x,y,z>0\)
Mặt khác khi \(x=y=z\) thì \(P=\frac{9}{2}\) vậy Min \(P=\frac{9}{2}\)
