cho x,y,z là các số thực thỏa mãn x+y+z=1. tìm gtln của biểu thức: P = 2xy+3yz+4xz
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
MT
1
29 tháng 7 2021
\(x+y+z=1\Rightarrow z=1-x-y\)Thay vào A ta được:
\(A=2xy+3y\left(1-x-y\right)+4\left(1-x-y\right)x\)
\(\Leftrightarrow2xy+3y-3xy-3y^2+4x-4x^2-4xy-A=0\)
\(\Leftrightarrow3y-3y^2+4x-4x^2-5xy-A=0\)
\(\Leftrightarrow-4x^2-\left(5y-4\right)x-3y^2+3y-A=0\)
\(\Leftrightarrow4x^2+\left(5y-4\right)x+3y^2-3y+A=0\)
\(\Delta=\left(5y-4\right)^2-16\left(3y^2-3y+A\right)\)
Để pt có nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(5y-4\right)^2-16\left(3y^2-3y+A\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow25y^2-40y+16-48y^2+48y-16A\ge0\)
\(\Leftrightarrow-23y^2+8y+16\ge16A\)
\(\Leftrightarrow16A\le-23\left(y^2-\frac{8}{23}y-\frac{12}{23}\right)=-23\left(y-\frac{4}{23}\right)^2+\frac{384}{23}\le\frac{384}{23}\)
\(\Rightarrow A\le\frac{24}{23}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2xy+3y\left(1-x-y\right)+4\left(1-x-y\right)x=\frac{24}{23}\\\left(y-\frac{4}{23}\right)^2=0\\x+y+z=1\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{9}{23}\\y=\frac{4}{23}\\z=\frac{10}{23}\end{cases}}\)
Vậy Max A = \(\frac{24}{23}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{9}{23}\\y=\frac{4}{23}\\z=\frac{10}{23}\end{cases}}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 3 2021
Bạn tham khảo:
cho x,y,z >0 thỏa mãn \(2\sqrt{y}+\sqrt{z}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\). CMR: \(\dfrac{3yz}{x}+\dfrac{4zx}{y}+\dfrac{5xy}{z}\ge... - Hoc24
T
12 tháng 12 2018
\(A=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\).Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz,ta có:
\(=\left(1-\frac{1}{x+1}\right)+\left(1-\frac{1}{y+1}\right)+\left(1-\frac{1}{z+1}\right)\)
\(=\left(1+1+1\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
\(\ge3-\frac{9}{\left(x+y+z\right)+\left(1+1+1\right)}=\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1/3
Vậy A min = 3/4 khi x=y=z=1/3
23 tháng 7 2023
a) \(\left\{{}\begin{matrix}a=x\\b=2y\\c=3z\end{matrix}\right.\Rightarrow a+b+c=2;a,b,c>0\)
\(\Rightarrow S=\sqrt{\dfrac{\dfrac{ab}{2}}{\dfrac{ab}{2}+c}}+\sqrt{\dfrac{\dfrac{bc}{2}}{\dfrac{bc}{2}+a}}+\sqrt{\dfrac{ca}{ca+2b}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{ab}{ab+2c}}+\sqrt{\dfrac{bc}{bc+2a}}+\sqrt{\dfrac{ca}{ca+2b}}\)
Vì a,b,c>0 nên áp dụng BĐT AM-GM, ta có:
\(\sqrt{\dfrac{ab}{ab+2c}}=\sqrt{\dfrac{ab}{ab+\left(a+b+c\right)c}}=\sqrt{\dfrac{ab}{c^2+bc+ca+ab}}=\sqrt{\dfrac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{a}{a+c}}.\sqrt{\dfrac{b}{b+c}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{b+c}\right)\)
\(\sqrt{\dfrac{bc}{bc+2a}}=\sqrt{\dfrac{bc}{\left(b+a\right)\left(c+a\right)}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{a+c}\right)\)
\(\sqrt{\dfrac{ca}{ca+2b}}=\sqrt{\dfrac{ca}{\left(c+b\right)\left(a+b\right)}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{a}{a+b}\right)\)
\(\Rightarrow S\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{a+b}\right)+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{b+c}\right)+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{c}{a+c}\right)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=2/3=>\(\left(x,y,z\right)=\left\{\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{2}{9}\right\}\)
17 tháng 4 2019
\(2x+2y+z=4\Rightarrow z=4-2x-2y\)
Ta có: \(A=2xy+yz+xz\)
\(=2xy+y\left(4-2x-2y\right)+x\left(4-2x-2y\right)\)
\(=2xy+4y-2xy-2y^2+4x-2x^2-2xy\)
\(=4y-2xy-2y^2+4x-2x^2\)
\(\Rightarrow2A=8y-4xy-4y^2+8x-4x^2\)
\(=-4x^2-4x\left(y-2\right)-4y^2+8y\)
\(=-4x^2-2.x.2\left(y-2\right)-\left(y-2\right)^2+\left(y-2\right)^2-4y^2+8y\)
\(=-\left[4x^2+2.x.2\left(y-2\right)+\left(y-2\right)^2\right]+\left(y-2\right)^2-4y^2+8y\)
\(=-\left(2x+y-2\right)^2+y^2-4y+4-4x^2+8y\)
\(=-\left(2x+y-2\right)^2-3y^2+4y+4\)
\(=-\left(2x+y-2\right)^2-3\left(y^2-2.\frac{2}{3}y+\frac{4}{9}-\frac{4}{9}-\frac{4}{3}\right)\)
\(=-\left(2x+y-2\right)^2-3\left(y-\frac{2}{3}\right)^2+\frac{16}{3}\)
\(=\frac{16}{3}-\left[\left(2x+y-2\right)^2+3\left(y-\frac{2}{3}\right)^2\right]\)
Vì \(\left(2x+y-2\right)^2\ge0;\left(y-\frac{2}{3}\right)^2\ge0\) Nên \(\frac{16}{3}-\left[\left(2x+y-2\right)^2+3\left(y-\frac{2}{3}\right)^2\right]\le\frac{16}{3}\)
\(\Rightarrow A\le\frac{16}{3}:2=\frac{8}{3}\)
Dấu "=" xảy ra <=>\(\hept{\begin{cases}y-\frac{2}{3}=0\\2x+y-2=0\\z=4-2x-2y\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{-y+2}{2}\\y=\frac{2}{3}\\z=4-2x-2y\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{2}{3}\\y=\frac{2}{3}\\z=\frac{4}{3}\end{cases}}}\)
Vậy AMax = 8/3 khi và chỉ khi x = y = 2/3 và z = 4/3
NN
13 tháng 9 2015
áp dụng bđt cô-si ta có\(x+y\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow\frac{2xy}{x+y}\le\sqrt{xy}\)
cm tt ta có,,,,,,,\(P\le\sqrt{xy}+\sqrt{xz}+\sqrt{2yz}\)
đến đây tịt nhưng xem lại cái đề bài nha, cứ kiểu j đấy
gọi a là 1 giá trị của biểu thức P, khi đó ta có a = 2xy + 3yz + 4xz
Thay z = 1 - x - y, ta được :
a = 2xy + 3y ( 1 - x - y ) + 4x ( 1 - x - y )
\(\Leftrightarrow4x^2+\left(5y-4\right)x+3y^2-3y+a=0\)
PT có nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta\ge0\Leftrightarrow\left(5y-4\right)^2-4.4\left(3y^2-3y+a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow-23y^2+8y+16\ge16a\)
Vì \(-23y^2+8y+16=-23\left(y-\frac{4}{23}\right)^2+\frac{384}{23}\le\frac{384}{23}\)
\(\Rightarrow16a\le\frac{384}{23}\Rightarrow a\le\frac{24}{23}\Rightarrow P\le\frac{24}{23}\)
Vậy GTLN của P là \(\frac{24}{23}\)
quên còn dấu "="
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x+y+z=1\\y=\frac{4}{23}\\x=\frac{4-5y}{8}\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{9}{23}\\y=\frac{4}{23}\\z=\frac{10}{23}\end{cases}}}\)