Question

[Kiệt Nguyễn]

Cho a,B,C LÀ CÁC Số THực DƯƠNG TÙY Ý. cmr:

\(\left(a+b+c\right)^3\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\le27a^2b^2c^2\)

Answer 1

[Trần Phúc Khang]

Đặt \(a+b-c=x;b+c-a=y;a+c-b=z\)

BĐT <=> \(\left(x+y+z\right)^3xyz\le27.\left(\frac{x+z}{2}\right)^2\left(\frac{y+z}{2}\right)^2\left(\frac{x+y}{2}\right)^2\)

<=> \(64xyz\left(x+y+z\right)^3\le\left[\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\right]^2\)(1)

Xét \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\ge\frac{8}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)\)

<=> \(9\left[xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+xz\left(x+z\right)+2xyz\right]\ge8\left[xy\left(x+y\right)+...+3xyz\right]\)

<=> \(xy\left(x+y\right)+xz\left(x+z\right)+yz\left(y+z\right)\ge6xyz\)(luôn đúng )

 vì \(VT\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2.\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}\ge6xyz\)

Khi đó BĐT (1)

<=> \(64.xyz\left(x+y+z\right)^3\le27\left[\frac{8}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)\right]^2\)

<=> \(3xyz\left(x+y+z\right)\le\left(xy+yz+xz\right)^2\)

<=> \(x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\ge xyz\left(x+y+z\right)\)(BĐT Cosi) 

=> BĐT được Cm

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

Answer 2

[nub]

Mình có cách khác

bđt đồng bật nên t chuẩn hóa \(a+b+c=1\)

Ta biến doi vế trái về:      \(\left[\left(a+b\right)^2-c^2\right]\left[\left(b+c\right)^2-a^2\right]\left[\left(c+a\right)^2-b^2\right]\)

                                 \(=\left[\left(1-c\right)^2-c^2\right]\left[\left(1-a\right)^2-a^2\right]\left[\left(1-b\right)^2-b^2\right]\)

Giờ ta cần chứng minh:\(\left[\left(1-c\right)^2-c^2\right]\left[\left(1-a\right)^2-a^2\right]\left[\left(1-b^2\right)-b^2\right]\le27a^2b^2c^2\)

Ta xét :\(0< a,b,c< \frac{1}{3}\)(*)

\(\Rightarrow a+b+c< 1\) 

vì \(a+b+c=1\)nên (*) vô lý

Ta xét:\(\frac{1}{3}\le a,b,c< 1\)

Đến đây ta thấy giữa các biến có sự riêng biệt nên ta xét:

\(3a^2-\left[\left(1-a\right)^2-a^2\right]=\left(3a-1\right)\left(a+1\right)\ge0\)

 \(\Rightarrow3a^2\ge\left(1-a\right)^2-a^2\)

Tương tự:\(3b^2\ge\left(1-b\right)^2-b^2\)

                \(3c^2\ge\left(1-c\right)^2-c^2\)

nhan các vế bđt lại với nhau ta có điều phải chứng minh

Đến đây ta có thể suy ra điều phải chứng minh

vài lời nhắn:

Mình không chắt về cách xét của mình nữa