Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng bất đẳng thức \(4x^3+4y^3\ge\left(x+y\right)^3\) với x, y > 0, ta được:
\(4a^3+4b^3\ge\left(a+b\right)^3\); \(4b^3+4c^3\ge\left(b+c\right)^3\) ; \(4c^3+4a^3\ge\left(c+a\right)^3\).
Cộng từng vế 3 bất đẳng thức trên ta được:
\(4a^3+4b^3+4a^3+4b^3+4c^3+4c^3\ge\left(a+b\right)^3+\left(c+b\right)^3+\left(a+c\right)^3\)
\(\Rightarrow8\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b\right)^3+\left(c+b\right)^3+\left(a+c\right)^3\)
=> đpcm.
c) Áp dụng BĐT Cauchy-schwars ta có:
\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge\frac{\left(a+b+b\right)^2}{a+b+c}=a+b+c\)
đpcm
a) \(2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\)
<=> \(a^4+b^4\ge ab\left(a^2+b^2\right)\)
Ta có: \(a^4+b^4\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}=\frac{a^2+b^2}{2}.\left(a^2+b^2\right)\ge ab\left(a^2+b^2\right)\) với mọi a, b
Vậy \(2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b
b) \(3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\)(1)
<=> \(2\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge ab^3+ac^3+ba^3+bc^3+ca^3+cb^3\)
<=> \(\left(a^4+b^4\right)+\left(b^4+c^4\right)+\left(c^4+a^4\right)\ge ab\left(a^2+b^2\right)+bc\left(b^2+c^2\right)+ac\left(a^2+c^2\right)\) đúng áp dụng câu a
Vậy (1) đúng
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c.
\(\dfrac{a^3}{\left(b+2\right)\left(c+3\right)}+\dfrac{b+2}{36}+\dfrac{c+3}{48}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{a^3\left(b+2\right)\left(c+3\right)}{1728\left(b+2\right)\left(c+3\right)}}=\dfrac{a}{4}\)
Tương tự: \(\dfrac{b^3}{\left(c+2\right)\left(a+3\right)}+\dfrac{c+2}{36}+\dfrac{a+3}{48}\ge\dfrac{b}{4}\)
\(\dfrac{c^3}{\left(a+2\right)\left(b+3\right)}+\dfrac{a+2}{36}+\dfrac{b+3}{48}\ge\dfrac{c}{4}\)
Cộng vế:
\(P+\dfrac{7\left(a+b+c\right)}{144}+\dfrac{17}{48}\ge\dfrac{a+b+c}{4}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{29}{144}\left(a+b+c\right)-\dfrac{17}{48}\ge\dfrac{29}{144}.3\sqrt[3]{abc}-\dfrac{17}{48}=\dfrac{1}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Lời giải:
BĐT cần cm tương đương với:
$2(a^4+b^4+c^4)\geq ab^3+bc^3+ca^3+a^3b+b^3c+c^3a$
$\Leftrightarrow (a^4+b^4-a^3b-ab^3)+(b^4+c^4-b^3c-bc^3)+(c^4+a^4-ca^3-c^3a)\geq 0$
$\Leftrightarrow (a-b)^2(a^2+ab+b^2)+(b-c)^2(b^2+bc+c^2)+(c-a)^2(c^2+ca+a^2)\geq 0$
Điều này luôn đúng do:
$(a-b)^2\geq 0; a^2+ab+b^2=(a+\frac{b}{2})^2+\frac{3b^2}{4}\geq 0$ với mọi $a,b\in\mathbb{R}$ và tương tự với 2 đa thức còn lại)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
Do bđt đối xứng nên ta giả sử: \(a\ge b\ge c\)
Áp dụng Chebyshev cho hai dãy đơn điệu tăng (a;b;c) và(a^3;b^3;c^3):
\(a^4+b^4+c^4=a.a^3+b.b^3+c.^3\ge\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
\(\Rightarrow3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
a.
\(2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\)
\(\Leftrightarrow2a^4+2b^4\ge a^4+ab^3+a^3b+b^4\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4\ge ab^3+a^3b\)
\(\Leftrightarrow a^4-a^3b+b^4-ab^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)(*)
Mà \(a^2+ab+b^2=\left(a^2+2\cdot a\cdot\dfrac{1}{2}b+\dfrac{b^2}{4}\right)+\dfrac{3b^2}{4}=\left(a+\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{3b^2}{4}\ge0\)
Suy ra (*) đúng => đpcm
Dấu "=" xảy ra khi a = b
b.
\(3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
\(\Leftrightarrow3a^4+3b^4+3c^4\ge a^4+ab^3+ac^3+a^3b+b^4+bc^3+a^3c+b^3c+c^4\)
\(\Leftrightarrow2a^4+2b^4+2c^4\ge ab^3+a^3b+b^3c+bc^3+ca^3+c^3a\)
\(\Leftrightarrow\left(a^4+b^4\right)+\left(b^4+c^4\right)+\left(c^4+a^4\right)\ge\left(a^3b+ab^3\right)+\left(b^3c+bc^3\right)+\left(c^3a+ca^3\right)\)
Theo câu a. thì điều này đúng
Dấu "=" khi a=b=c
Ta biến đổi: \(4\left(a^3+b^3\right)-\left(a+b\right)^3+4\left(b^3+c^3\right)-\left(b+c\right)^3+4\left(c^3+a^3\right)-\left(c+a\right)^3\ge0\)
Xét: \(4\left(a^3+b^3\right)-\left(a+b\right)^3=\left(a+b\right)\left[4\left(a^2-ab+b^2\right)-\left(a+b\right)^2\right]\)
\(=3\left(x+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)
Tương tự với: \(4\left(b^3+c^3\right)-\left(b+c\right)^3\) và \(4\left(c^3+a^3\right)-\left(c+a\right)^3\)
Ta suy ra đpcm.
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
*học ngu chỉ làm được câu b. lười quá nên làm tắt*
Biến đổi thành
4(a3+b3)-(a+b)3+4(a3+b3)-(b+c)3+4(c3+a3)-(c+a)3 >=0
xét 4(a3+b3)-(a+b)3 =(a+b)[4(a2-ab+b2)-(a+b)2]
=3(a+b)(a-b)2 >=0
tương tự với \(\hept{\begin{cases}4\left(b^3+c^3\right)-\left(b+c\right)^3\\4\left(c^3+a^2\right)-\left(a+c\right)^3\end{cases}}\)
=> đpcm
đẳng thức xảy ra khi a=b=c
Ta có : \(4\left(a^3+b^3\right)=4a^3+4b^3\)(1)
\(\left(a+b\right)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^2\)(2)
Từ 1 và 2 \(< =>3a^3+3b^3\ge3a^2b+3ab^2\)
\(< =>a^3+b^3\ge a^2b+ab^2\)
\(< =>a+b\ge b+a\left(đpcm\right)\)
Ko chắc lắm vì t ms lớp 6 :((