cho a,b,c là số thực không âm thỏa mãn a+b+c=1 CMR rằng 2a+b+c>=4(a+b)(b+c)(c+a)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NT
1
10 tháng 3 2019
Đặt \(x=a+b;y=b+c,z=c+a\)
\(\Rightarrow x+y+z=2\)
Ta cần chứng minh:\(x+z\ge4xyz\)
Ta có:\(4\left(x+z\right)=\left(x+y+z\right)^2\left(x+z\right)\ge4y\left(x+z\right)\left(x+z\right)\)
\(=4y\left(x+z\right)^2\ge4y.4xz=16xyz\)
\(\Rightarrow\)\(x+z\ge4xyz\)
Hoàn tất chứng minh.Dấu "=" xảy ra khi \(x=z=\frac{1}{2};y=1\) thế vào tìm a,b,c
NT
4
VT
7 tháng 1 2018
Áp dụng BĐT cô-si, ta có
\(\left(a+b+c\right)^2\ge4a\left(b+c\right);\left(b+c\right)^2\ge4bc\)
Nhân từng vế, ta có \(\left(a+b+c\right)^2\left(b+c\right)^2\ge4a\left(b+c\right).4bc\Rightarrow b+c\ge16abc\left(ĐPCM\right)\)
dấu = xảy ra <=>\(\hept{\begin{cases}a=\frac{1}{2}\\b=c=\frac{1}{4}\end{cases}}\)
^_^
21 tháng 1 2018
Câu trả lời hay nhất: áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm có
1 = (a + b+ c)^2 >= 4a(b + c)
<=> b +c >= 4a(b + c)^2
Mà (b + c)^2 >= 4bc
Vậy b + c >= 4a.4bc = 16abc
p/s:kham khảo
AS
0
7 tháng 8 2021
Xét \(VT=a+2b+c=1+b\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT AG-GM:
\(4\left(1-a\right)\left(1-c\right)\le\left(1-a+1-c\right)^2=\left(2-a-c\right)^2=\left(1+a+b+c-a-c\right)^2=\left(1+b\right)^2\left(2\right)\)
\(\Rightarrow4\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\le\left(1-b\right)\left(1+b\right)^2\)
Mà \(\left(1-b\right)\left(1+b\right)^2-\left(1-b\right)=\left(1+b\right)\left(1-b^2-1\right)=-b^2\left(1+b\right)\le0,\forall b\ge0\)
Do đó \(\left(1-b\right)\left(1+b\right)^2\le1+b\left(3\right)\)
Từ \(\left(1\right)\left(2\right)\left(3\right)\) ta có ĐPCM
Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=c=\dfrac{1}{2};b=0\)
CM
25 tháng 1 2019
Vì a, b, c không âm và có tổng bằng 1 nên 0 ≤ a , b , c ≤ 1 ⇒ a ( 1 − a ) ≥ 0 b ( 1 − b ) ≥ 0 c ( 1 − c ) ≥ 0 ⇒ a ≥ a 2 b ≥ b 2 c ≥ c 2 ⇒ 5 a + 4 ≥ a 2 + 4 a + 4 = ( a + 2 ) 2 = a + 2 T ư ơ n g t ự : 5 b + 4 ≥ b + 2 ; 5 c + 4 ≥ c + 2 ⇒ 5 a + 4 + 5 b + 4 + 5 c + 4 ≥ ( a + b + c ) + 6 = 7 ( đ p c m )
Đặt
x=a+b , y=b+c , z=c+a
=> x+y+z=2
Ta cần chứng minh x+z > 4xyz
Ta có
4(x+z)=(x+y+z)2
(x+z) > 4y.4xz=16xyz
= 4y(x+z)2 > 4y.4xz= 16xyz
=>x+z > 4xyz
Hoàn tất chứng minh . Dấu "=" xảy ra khi x=z=1/2:y=1 thế vào tìm a,b,c.
Chúc bn hok tốt