Question

[Won Yi]

Từ điểm A ở bên ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB và AC với đường tròn ấy (B, C là các tiếp điểm và B ≠ C). Điểm M thuộc cung nhỏ BC (M ≠ B và M ≠ C). Gọi I, H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên CB, BA, AC. Biết MB cắt IH tại E, MC cắt IK tại F.

1) Chứng minh bốn điểm M, K, I, C cùng thuộc một đường tròn.

2) Chứng minh  và MI² = MH.MK

3) Chứng minh EF ^ MI.

Answer 1

[╰❥ ครtг๏ภ๏๓เค ✾]

a) Vì AB là tiếp tuyến (O)

=> AB⊥OB

=> ABOˆABO^=900=900

Vì AC là tiếp tuyến (O)

=> AC⊥OC

=>ACOˆACO^ =900=900

Ta có: ABOˆ+ACOˆABO^+ACO^ =900+900=1800=900+900=1800

=> Tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn. (theo dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

b) Vì tiếp tuyến AB cắt tiếp tuyến AC tại A

⇒{AB=ACBO=CO⇒{AB=ACBO=CO

⇒⇒ AO là đường trung trực ứng BC

⇒⇒ AO⊥BC ( mà E∈BC)

⇒⇒ BE⊥AO (đpcm)

Xét ΔABO có: ABOˆABO^ =900=900 (cmtrn)

BE⊥AO (cmtrn)

⇒⇒ Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

⇒⇒ AO⋅OE=OB2AO⋅OE=OB2 (mà OB=R)

⇒OA⋅OE=R2⇒OA⋅OE=R2 (đpcm)

c) Vì tiếp tuyến BP cắt tiếp tuyến PK tại P

⇒PB=PK⇒PB=PK

Vì tiếp tuyến KQ cắt tiếp tuyến QC tại Q

⇒KQ=QC⇒KQ=QC

Ta có: PAPQ=AP+PQ+AQPAPQ=AP+PQ+AQ =AP+PK+KQ+AQ=AP+PK+KQ+AQ

⇔PAPQ=(AP+PB)+(QC+AQ)⇔PAPQ=(AP+PB)+(QC+AQ)

⇔PAPQ=AB+AC⇔PAPQ=AB+AC

Vì AB+ACAB+AC không thay đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ BC

⇒⇒ Chu vi tam giác AQP không thay đổi khi K thay đổi trên cung nhỏ BC (đpcm).

d) Tự CM: ΔMOP∼ΔNQOΔMOP∼ΔNQO

⇒MPNO=MONQ⇒MPNO=MONQ ⇔MP⋅NQ=MO⋅NO=MN2⋅MN2⇔MP⋅NQ=MO⋅NO=MN2⋅MN2

⇔MP⋅NQ=MN24⇔MP⋅NQ=MN24

⇔MN2=4⋅(MP⋅NQ)⇔MN2=4⋅(MP⋅NQ)

⇔MN=2⋅MN⋅NQ−−−−−−−−√⇔MN=2⋅MN⋅NQ

Áp dụng bđt Côshi ta có:

2⋅MP⋅NQ−−−−−−−−√≤MP+NQ2⋅MP⋅NQ≤MP+NQ

⇔MN≤MP+NQ⇔MN≤MP+NQ (đpcm).