Question

[Trần Thịnh Đức]

cho 2 số tự nhiên a, b thỏa mãn  2008a^2 + a = 2009b^2 + b. Chứng minh rằng b - a và 2008a + 2008b + 1 là số chính phương.

Answer 1

[Trí Tiên亗]

Ta có : \(2008a^2+a=2009b^2+b\)

\(\Leftrightarrow2008\left(a^2-b^2\right)+\left(a-b\right)=b^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(2008b+2008b+1\right)=b^2\) (1)

Mặt khác : \(2008a^2+a=2009b^2+b\)

\(\Leftrightarrow2009a^2-2009b^2+\left(a-b\right)=a^2\)

\(\Leftrightarrow2009\left(a-b\right)\left(a+b\right)+\left(a-b\right)=a^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(2009a+2009b+1\right)=a^2\) (2)

Từ (1) và (2) 

\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2\left(2008a+2008b+1\right)\left(2009a+2009b+1\right)=\left(ab\right)^2\) (*)

Nếu : \(a=b\) thì từ (*)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a-b=0\\2008+2008b+1=1\end{cases}}\) đều là số chính phương

Nếu \(a\ne b\) thì từ (*) \(\Rightarrow2008a+2008b+1,2009a+2009b+1\) là số chính phương

Gọi \(\left(2008a+2008b+1,2009a+2009b+1\right)=d\left(d\inℕ^∗\right)\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2008a+2008b+1⋮d\\2009a+2009b+1⋮d\end{cases}}\)  \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b⋮d\\2009\left(a+b\right)+1⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\left(d\inℕ^∗\right)\)

\(\Rightarrow\left(2008a+2008b+1,2009a+2009b+1\right)=1\)

mà : \(2008a+2008b+1,2009a+2009b+1\) là số chính phương

\(\Rightarrow2008a+2008b+1,2009a+2009b+1\) đồng thời là số chính phương

Nên từ (1) \(\Rightarrow a-b\) là số chính phương.

Vậy : bài toán được chứng minh .