cho a,b,c là các số thực dương. cmr \(\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\)+\(\frac{1}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\)+\(\frac{1}{\frac{1}{c}+\frac{1}{a}}\)\(\le\frac{a^2}{b+c}\)+\(\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
RR
14 tháng 5 2018
Ta có : \(a^2+\frac{1}{9}\ge\frac{2}{3}a\)
Suy ra
\(VT\le\Sigma\left(\frac{a}{\left(a^2+1\right)}\right)\le\Sigma\frac{a}{\frac{2}{3}a+\frac{8}{9}}=\Sigma\frac{9a}{6a+8}=\frac{9}{2}-\Sigma\frac{6}{4+3a}\le\frac{9}{2}-\frac{54}{12+3\left(a+b+c\right)}=\frac{9}{10}\)
Đẳng thức xảy ra <=> \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
T
10 tháng 2 2019
Cách khác nhá.
Lời giải
Ta sẽ c/m:\(\frac{a}{a^2+1}\le\frac{18}{25}a+\frac{3}{50}\)
Thật vậy,ta có: BĐT \(\Leftrightarrow\frac{a}{a^2+1}-\frac{18}{25}a-\frac{3}{50}\le0\)
Thật vậy:\(VT=\frac{-\left(4a+3\right)\left(3a-1\right)^2}{50\left(a^2+1\right)}\le0\forall x\)
Vậy \(\frac{a}{a^2+1}\le\frac{18}{25}a+\frac{3}{50}\).Thiết lập hai BĐT còn lại tương tự và cộng theo vế:
\(VT\le\frac{18}{25}\left(a+b+c\right)+\frac{9}{50}=\frac{9}{10}^{\left(đpcm\right)}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
2 tháng 7 2019
\(\sum\)\(\frac{a}{1+a^2}\)\(\le\)\(\sum\)\(\frac{a}{2a}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=1\)
\(VT=\frac{a^2}{ab+ca}+\frac{b^2}{bc+ab}+\frac{c^2}{ca+bc}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)^2}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)
2 tháng 7 2019
sao olm ko hiện \(\sum\) ra nhỉ ? thoi mk ghi lại v
\(\frac{a}{1+a^2}\le\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}\)
tương tự 2 cái kia cộng lại t có bđt cần cm
30 tháng 9 2019
\(\frac{1}{a^2+b^2+2}+\frac{1}{b^2+c^2+2}+\frac{1}{c^2+a^2+2}\le\frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}+\frac{b^2+c^2}{b^2+c^2+2}+\frac{c^2+a^2}{c^2+a^2+2}\ge\frac{3}{2}\)
Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz ta có :
\(VT\ge\frac{\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+6}\)
\(\ge\frac{\sqrt{3\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)}+2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+^2+c^2}\)
\(\ge\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\)
Ta cần chứng minh :
\(\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge0\) luôn đúng
Chúc bạn học tốt !!!
T
30 tháng 9 2019
hoang viet nhat copy nhớ ghi nguồn nha bạn:))Link
Mà quan trọng là copy mà bạn có hiểu không là chuyện khác:) Bạn hãy giải thích tại sao:
\(\frac{\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+6}\ge\frac{\sqrt{3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)}+2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+^2+c^2}\)
NN
6 tháng 7 2019
\(\frac{3}{2}\le\)\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\)
Đặt: b + c = x
a + c = y
a + b = z
Ta có: x + y - z = b + c + a + c - a - b = 2c
\(\frac{x+y-z}{2}=c\)
Tương tự: \(\frac{x+z-y}{2}=b\)
\(\frac{z+y-x}{2}=a\)
Khi đó: VP \(\ge\) \(\frac{z+y-x}{2x}+\frac{x+z-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}\)
VP \(\ge\) \(\frac{z+y}{2x}-\frac{x}{2x}+\frac{x+z}{2y}-\frac{y}{2y}+\frac{x+y}{2z}-\frac{z}{2z}\)
VP \(\ge\) \(\frac{z+y}{2x}-\frac{1}{2}+\frac{x+z}{2y}-\frac{1}{2}+\frac{x+y}{2z}-\frac{1}{2}\)
VP \(\ge\) \(\frac{z+y}{2x}+\frac{x+z}{2y}+\frac{x+y}{2z}-\frac{3}{2}\)
VP \(\ge\) \(\frac{1}{2}.\left(\frac{z+y}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}\right)-\frac{3}{2}\)
VP \(\ge\) \(\frac{1}{2}.\left(\frac{z}{x}+\frac{y}{x}+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}\right)-\frac{3}{2}\)
Ta có: \(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{z^2}{x\text{z}}+\frac{x^2}{x\text{z}}\ge\frac{2xz}{x\text{z}}\)
\(\Leftrightarrow\)\(x^2-2xz+z^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-z\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )
\(\Rightarrow\) \(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\ge2\)
Tương tự: \(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\ge2\)
\(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\ge2\)
\(\Rightarrow\)VP\(\ge\)\(\frac{1}{2}.6-\frac{3}{2}\)
VP\(\ge\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow\) \(\frac{3}{2}\le\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\)
M
7 tháng 9 2016
câu a,mình ko biết nhưng câu b bạn cộng 1+b cho số hạng đầu áp dụng cô si,các số hạng khác tương tự rồi cộng vế theo vế,ta có điều phải c/m
1 tháng 5 2020
BĐT cần chứng minh tương đương với :
\(\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}+\frac{b^2+c^2}{b^2+c^2+2}+\frac{c^2+a^2}{c^2+a^2+2}\ge\frac{3}{2}\)
Áp dụng BĐT Cô-si dạng Engel,ta có :
\(VT\ge\frac{\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+6}\)
\(\ge\frac{\sqrt{3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)}+2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+b^2+c^2}\)
\(\ge\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge0\)( luôn đúng )
nguồn : loga
KN
3 tháng 6 2020
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: \(\Sigma\frac{2}{a^2+b^2+2}\le\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow3-\Sigma\frac{2}{a^2+b^2+2}\ge\frac{3}{2}\Leftrightarrow\Sigma\left(1-\frac{2}{a^2+b^2+2}\right)\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\Sigma\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}\ge\frac{3}{2}\)(*)
Xét vế trái của (*), ta có: \(\Sigma\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}\ge\frac{\left(\Sigma\sqrt{a^2+b^2}\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+6}\)(Theo BĐT Bunyakovsky dạng phân thức)
Đến đây, ta cần chỉ ra rằng \(\frac{\left(\Sigma\sqrt{a^2+b^2}\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+6}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+2\left(\Sigma\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)}\right)}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+6}\ge\frac{3}{2}\)\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2+c^2+\Sigma\text{}\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)}}{a^2+b^2+c^2+3}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow2\text{}\text{}\Sigma\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)}\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)+9\)\(\Leftrightarrow\text{}\text{}\Sigma\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)}\ge\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{9}{2}\)(**)
Theo BĐT Cauchy-Schwarz cho 2 bộ số \(\left(a;b\right)\)và \(\left(c;b\right)\), ta có:\(\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+b^2\right)\ge\left(ac+b^2\right)^2\) \(\Rightarrow\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)}\ge ac+b^2\)(1)
Tương tự, ta có: \(\sqrt{\left(b^2+c^2\right)\left(c^2+a^2\right)}\ge ab+c^2\)(2); \(\sqrt{\left(c^2+a^2\right)\left(a^2+b^2\right)}\ge bc+a^2\)(3)
Cộng theo vế của 3 BĐT (1), (2), (3), ta được: \(\text{}\text{}\Sigma\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)}\ge a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\)
\(=\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ca\)
\(=\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2=\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{9}{2}\)(Do đó (**) đúng)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.
LT
10 tháng 12 2017
Ta có \(ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\)\(\Rightarrow3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\le3\Leftrightarrow abc\le1\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{1+a^2\left(b+c\right)}\le\frac{1}{abc+a^2\left(b+c\right)}\)\(=\frac{1}{a\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{1}{3a}\)
\(CMTT\Rightarrow\frac{1}{1+b^2\left(c+a\right)}\le\frac{1}{3b}\)
\(\frac{1}{1+c^2\left(a+b\right)}\le\frac{1}{3c}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{3a}+\frac{1}{3b}+\frac{1}{3c}\)\(=\frac{ab+bc+ca}{3abc}=\frac{1}{abc}\)
\(\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}+\frac{1}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}+\frac{1}{\frac{1}{c}+\frac{1}{a}}\)\(=\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\)
Áp dụng bđt AM-GM cho 3 số thực dương a,b,c ta được:
\(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4\left(a+b\right)}+\frac{\left(b+c\right)^2}{4\left(b+c\right)}+\frac{\left(c+a\right)^2}{4\left(c+a\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}+\frac{1}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}+\frac{1}{\frac{1}{c}+\frac{1}{a}}\le\frac{a+b+c}{2}\left(1\right)\)
Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz dạng engel ta có:
\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}+\frac{1}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}+\frac{1}{\frac{1}{c}+\frac{1}{a}}\le\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\left(đpcm\right)\)
\(\)