Question

[Nguyễn Thị Ngọc Mai]

Cho đường tròn (O;R) ,đường kính AB . Kẻ tiếp tuyến Ax với đương tròn tại A. Lấy điểm M thuộc tia Ax ,kẻ tiếp tuyến MC với đường tròn (O) tại C (C khác A)  . Tiếp tuyến cảu đường tròn tại B cắt AC tại D và cắt MC ở F. Nối OM cắt AC tại E

1, Cm tứ giác OBDE nội tiếp

2, Cm \(AC.AD=4R^2\)

3, Cm AB là tiếp tuyến của đương tròn ngoại tiếp tam giác MOF

Answer 1

[ST]

Hình tự vẽ nha

1, Ta có: MA = MC (t/c 2 tt cắt nhau)

              OA = OC (t/c 2 tt cắt nhau)

=> OM là đường trung trực của AC

=> OM _|_ AC hay \(\widehat{OEC}=90^o\)

Có:  \(\widehat{OBD}=90^o\) (t/c tt của đường tròn)

XÉt tứ giác OBDE có: \(\widehat{OEC}+\widehat{OBD}=90^o+90^o=180^o\)

Mà 2 góc này ở vị trí đối diện

=> tứ giác OBDE nội tiếp (đpcm)

2, Xét t/g ABC có: góc ACB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

=> \(\widehat{ACB}=90^o\) hay BC _|_ AD

Áp dụng hệ thức b²=a.b' vào t/g ABD vuông tại B, đường cao BC có: \(AC.AD=AB^2=\left(2R\right)^2=4R^2\) (vì AB là đường kính) (đpcm)

3, Gọi K là trung điểm của MF (K thuộc MF) => KM=KF

Ta có: AM _|_ AB (t/c tt) ; BF _|_ AB (t/c tt)                  (1)

=> AM // BF => tứ giác AMBF là hình thang

Xét hình thang AMBF có:  KM = KF ; OA = OB (gt)

=> OK là đường trung bình của hình thang AMBF

=> OK // AM // BF mà AM _|_ AB (cmt)

=> OK _|_ AB (1)

Lại có: t/g MOF nội tiếp đường tròn => O thuộc tròn ngoại tiếp t/g MOF (2)

Từ (1) và (2) => đpcm