Question

[✿✿❑ĐạT̐®ŋɢย❐✿✿]

Bài tập sử dụng BĐT Svacxơ :

1) Cho \(a,b,c>0:\)

Cmr : \(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge a+b+c+\frac{4}{a+b+c}\cdot\left(max\left(a-b\right)^2,\left(b-c\right)^2,\left(c-a\right)^2\right)\)

Lưu ý : Trong ngoặc kia là nhân với 1 trong 3 cái lớn nhất , không phải nhân với caqr ba cái đâu ạ.

2) Cho \(a,b,c>0\) thỏa mãn \(a+b+c=3\). Tìm Min :

\(P=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{abc}\)

@Nguyễn Việt Lâm @Akai Haruma

@Băng Băng 2k6 @Vũ Minh Tuấn

Và các anh chị khác giúp em với ạ !

Answer 1

[tthnew]

Lần sau không tag là không giải nha:)

2)Chú ý: \(\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)\ge9abc\)

\(\Rightarrow3\left(ab+bc+ca\right)\ge9abc\Rightarrow abc\le\frac{ab+bc+ca}{3}\) (thay giả thiết vào thôi)

Và BĐT: \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]\ge0\) (đúng)

Như vậy: \(P\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{3}{ab+bc+ca}\)

\(=\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}\right)+\frac{2}{ab+bc+ca}\)

\(\ge\frac{9}{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{2}{ab+bc+ca}\)

\(\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{6}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{15}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{5}{3}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Answer 2

[tthnew]

1)Chú ý đẳng thức: \(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}-a-b-c\)

\(=\frac{\left(a-b\right)^2}{b}+\frac{\left(b-c\right)^2}{c}+\frac{\left(c-a\right)^2}{a}\)

Vậy ta quy bài toán về chứng minh:

\(\frac{\left(a-b\right)^2}{b}+\frac{\left(b-c\right)^2}{c}+\frac{\left(c-a\right)^2}{a}\ge\frac{4}{\left(a+b+c\right)}\left(max\left(a-b\right)^2,\left(b-c\right)^2,\left(c-a\right)^2\right)\)

*Với trường hợp \(\left(a-b\right)^2=max\left\{\left(a-b\right)^2,\left(b-c\right)^2,\left(c-a\right)^2\right\}\). Ta cần chứng minh:

\(\frac{\left(a-b\right)^2}{b}+\frac{\left(b-c\right)^2}{c}+\frac{\left(c-a\right)^2}{a}\ge\frac{4\left(a-b\right)^2}{\left(a+b+c\right)}\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{a+b+c}\right)\left(a-b\right)^2+\left[\frac{\left(b-c\right)^2}{c}+\frac{\left(c-a\right)^2}{a}\right]\ge0\)

Áp dụng BĐT Svacxo:

\(VT\ge\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{a+b+c}\right)\left(a-b\right)^2+\frac{\left(b-c+c-a\right)^2}{c+a}\)

\(=\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c+a}-\frac{4}{a+b+c}\right)\left(a-b\right)^2\)\(=\frac{\left(a+c-b\right)^2\left(a-b\right)^2}{b\left(a+c\right)\left(a+b+c\right)}\ge0\)

Vậy BĐT đúng với trường hợp \(\left(a-b\right)^2=max\left\{\left(a-b\right)^2,\left(b-c\right)^2,\left(c-a\right)^2\right\}\)

Hai trường hợp còn lại:

+)\(\left(b-c\right)^2=max\left\{\left(a-b\right)^2,\left(b-c\right)^2,\left(c-a\right)^2\right\}\)

+)\(\left(c-a\right)^2=max\left\{\left(a-b\right)^2,\left(b-c\right)^2,\left(c-a\right)^2\right\}\)

Cách chứng minh tương tự, xin không trình bày ở đây vì rất dài.

P/s: Riêng bài này tui hok chắc. @Akai Haruma check giúp em với ạ!