cho 3 số a,b,c thỏa mãn : \(a+b+c=0\) và \(-1< a\le b\le c< 1\) CMR : \(a^2+b^2+c^2< 2\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Từ a+b+c=6 \(\Rightarrow\)a+b=6-c
Ta có: ab+bc+ac=9\(\Leftrightarrow\)ab+c(a+b)=9
\(\Leftrightarrow\)ab=9-c(a+b)
Mà a+b=6-c (cmt)
\(\Rightarrow\)ab=9-c(6-c)
\(\Rightarrow\)ab=9-6c+c2
Ta có: (b-a)2\(\ge\)0 \(\forall\)b, c
\(\Rightarrow\)b2+a2-2ab\(\ge\)0
\(\Rightarrow\)(b+a)2-4ab\(\ge\)0
\(\Rightarrow\)(a+b)2\(\ge\)4ab
Mà a+b=6-c (cmt)
ab= 9-6c+c2 (cmt)
\(\Rightarrow\)(6-c)2\(\ge\)4(9-6c+c2)
\(\Rightarrow\)36+c2-12c\(\ge\)36-24c+4c2
\(\Rightarrow\)36+c2-12c-36+24c-4c2\(\ge\)0
\(\Rightarrow\)-3c2+12c\(\ge\)0
\(\Rightarrow\)3c2-12c\(\le\)0
\(\Rightarrow\)3c(c-4)\(\le\)0
\(\Rightarrow\)c(c-4)\(\le\)0
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}c\ge0\\c-4\le0\end{cases}}\)hoặc\(\hept{\begin{cases}c\le0\\c-4\ge0\end{cases}}\)
*\(\hept{\begin{cases}c\ge0\\c-4\le0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}c\ge0\\c\le4\end{cases}\Leftrightarrow}0\le c\le4}\)
*
Cho a = 1; b =0,5; c = 0,5
1^2+0,5^2+0,5^2=1+0,25+0,25=1,5
\(0\le a\le1\Rightarrow a\left(a-1\right)\le0\Rightarrow a^2\le a\)
\(b\left(b-1\right)\le0\Rightarrow b^2\le b\) ; \(c\left(c-1\right)\le0\Rightarrow c^2\le c\)
Cộng vế với vế:
\(a^2+b^2+c^2\le a+b+c=2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;1;1\right)\) và hoán vị
theo nguyên lí Dirichlet thì trong 3 số a, b, c có ít nhất 2 số cùng dấu, giả sử 2 số đó là b, c hay \(bc\ge0\)
=> \(a^2+b^2+c^2\le a^2+\left(b^2+2bc+c^2\right)=a^2+\left(b+c\right)^2=a^2+\left(-a\right)^2=2a^2< 2\)
Tìm các số nguyên x thỏa mãn một trong các điều kiện:
a, 2 ≤ 𝑥 ≤4
=> \(x\in\left\{2;3;4\right\}\)
b, −3 < 𝑥 ≤2
=> \(x\in\left\{-2;-1;0;1;2\right\}\)
c, 0 < 𝑥 <1
=> \(x\in\varnothing\)
Rút: \(c=-\left(a+b\right)\) ta cần chứng minh:
\(a^2+b^2+\left(a+b\right)^2< 2\) với \(-1< a\le b\le-\left(a+b\right)< 1\)
Từ \(-1< a\le b\le-\left(a+b\right)< 1\Rightarrow-1< a+b< 1\)
Xét hiệu: \(\left(a+b\right)^2-1=\left(a+b-1\right)\left(a+b+1\right)< 0\).Vậy \(\left(a+b\right)^2< 1\)
Ta có: \(VT=a^2+b^2+\left(a+b\right)^2=2\left(a+b\right)^2-2ab< 2\left(a+b\right)^2< 2.1=2\)
Ta có đpcm.
Is that true?