Cho x+y+z=0 và x,y,z\(\ne\)0. Tính \(M=\frac{x^2}{x^2+y^2-z^2}+\frac{y^2}{y^2+z^2-x^2}+\frac{z^2}{z^2+x^2-y^2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
13 tháng 11 2019
Ta có: x + y + z = 0
=> x = -y - z
=> x2 = (-y - z)2
=> x2 = y2 + 2yz + z2
=> x2 - y2 - z2 = 2yz
CMTT: y2 = x2 + 2xz + z2 => y2 - z2 - x2 = 2xz
z2 = x2 + 2xy + y2 => z2 - x2 - y2 = 2xy
Khi đó, ta có:M = \(\frac{x^2}{2yz}+\frac{y^2}{2xz}+\frac{z^2}{2xy}\)
M = \(\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}\)
M = \(\frac{\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+z^3}{2xyz}\)
M = \(\frac{\left(x+y\right)\left(x^2+2xy+y^2\right)-3xy\left(x+y\right)+z^3}{2xyz}\)
M = \(\frac{\left(x+y\right)^3+z^3-3xy\left(x+y\right)}{2xyz}\)
M = \(\frac{\left(x+y+z\right)\left[\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right).z+x^2\right]-3xy\left(x+y\right)}{2xyz}\)(do x + y + z = 0)
M = \(\frac{-3xy.z}{2xyz}=-\frac{3}{2}\) (do x + y = -z)
13 tháng 11 2019
Sửa lại kq M = 3/2 (thay dòng cuối) (-3xy.z --> -3xy(-z)) n/b
17 tháng 2 2019
tự chứng minh x3 +y3 +z3= 3xyz.
Từ x +y +z =0 => \(\hept{\begin{cases}y+z=-x\\x+z=-y\\x+y=-z\end{cases}}\)
Xét: \(\frac{x^2}{y^2+z^2-x^2}\)=\(\frac{x^2}{\left(y+z\right)^2-2yz-x^2}\)=\(\frac{x^2}{x^2-2yz-x^2}\)=\(\frac{x^2}{-2yz}\)
Tương tự ta có \(\frac{y^2}{x^2+z^2-y^2}\)=\(\frac{y^2}{-2xz}\); \(\frac{z^2}{x^2+y^2-z^2}\)=\(\frac{z^2}{-2xy}\)
=> P= \(\frac{x^2}{-2xy}-\frac{y^2}{2xz}-\frac{z^2}{2xy}\)=\(\frac{x^3}{-2xyz}-\frac{y^3}{2xyz}-\frac{z^3}{2xyz}\)=\(\frac{1}{-2xyz}\left(x^3+y^3+z^3\right)\)=\(\frac{3xyz}{-2xyz}=\frac{-3}{2}\)
Tui mới lớp 8 cũng làm đc nhá!!!
1 tháng 11 2020
- Với xyz \(\ne\) 0 ta có:
x + y + z = 0 \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}y+z=-x\\x+y=-z\\x+z=-y\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}(y+z)^2=(-x)^2\\(x+y)^2=(-z)^2\\(x+z)^2=(-y)^2\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}y^2+2yz+z^2=x^2\\x^2+2xy+y^2=z^2\\x^2+2xz+z^2=y^2\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}y^2+z^2-x^2=-2yz\\x^2+y^2-z^2=-2xy\\x^2+z^2-y^2=-2xz\end{cases}}\)
Thay vào P ta được:
P=\(\frac{1}{-2yz}\)\(+\)\(\frac{1}{-2xy}\)\(+\)\(\frac{1}{-2xz}\)\(=\)\(\frac{-x}{2xyz}\)\(+\)\(\frac{-z}{2xyz}\)\(+\)\(\frac{-y}{2xyz}\)\(=\)\(\frac{-(x+y+z)}{2xyz}\)\(=\)0 \((x+y+z=0)\)
Vậy với \(x+y+z=0\)và \(xyz\ne0\)thì \(P=0\)
HY
13 tháng 3 2020
\(\frac{x}{y-z}+\frac{y}{z-x}+\frac{z}{x-y}=0\\ =\frac{x}{y-z}=-\left(\frac{y}{z-x}+\frac{z}{x-y}\right)\\ =\frac{x}{\left(y-x\right)^2}=-\left(\frac{y}{z-x}+\frac{z}{x-y}\right).\frac{1}{y-x}=\frac{-xy+y^2-z^2+xz}{\left(z-x\right)\left(x-y\right)\left(y-z\right)}\left(1\right)\)
Tự làm với 2 phân thức còn lại, ta có:
\(\frac{y}{\left(z-x\right)^2}=\frac{-x^2+z^2+xy-yz}{\left(z-x\right)\left(x-y\right)\left(y-z\right)}\left(2\right)\)
\(\frac{z}{\left(x-y\right)^2}=\frac{x^2-y^2-xz+yz}{\left(z-x\right)\left(x-y\right)\left(y-z\right)}\left(3\right)\)
Cộng 3 vế lại với nhau ta có: \(Q=\frac{x}{\left(y-x\right)^2}+\frac{y}{\left(z-x\right)^2}+\frac{z}{\left(x-y\right)^2}=0\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
2 tháng 11 2019
\(y^2+z^2-x^2=y^2+\left(z-x\right)\left(z+x\right)=y^2+y\left(x-z\right)=y\left(x+y-z\right)=-2yz\)
\(\Rightarrow P=-\frac{1}{2}\left(\frac{x^2}{yz}+\frac{y^2}{zx}+\frac{z^2}{xy}\right)=-\frac{1}{2}\left(\frac{x^3+y^3+z^3}{xyz}\right)\)
Mặt khác \(x^3+y^3+z^3=x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)+z^3-3xy\left(x+y\right)\)
\(=\left(x+y\right)^3+z^3-3xy\left(-z\right)=\left(x+y\right)^3+\left(-x-y\right)^3+3xyz=3xyz\)
\(\Rightarrow P=-\frac{1}{2}\left(\frac{3xyz}{xyz}\right)=-\frac{3}{2}\)
24 tháng 11 2018
Bạn có thể sử dụng BĐT thức Cô-si và xét trường hợp dấu bằng xảy ra nhé bạn !
5 tháng 4 2020
Câu hỏi của Trần Ngọc Tú - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
G
6 tháng 12 2017
\(x+y+z=0\) => \(x+y=-z\) => \(\left(x+y\right)^2=z^2\)
=> \(x^2+2xy+y^2=z^2\)
=> \(z^2-x^2-y^2=2xy\)
Tương tự:
\(x^2-y^2-z^2=2yz\)
\(y^2-z^2-x^2=2zx\)
Thay vào tính M ta có:
\(M=\frac{x^2}{2yz}+\frac{y^2}{2zx}+\frac{z^2}{2xy}\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{x^3+y^3+z^3}{xyz}\right)\) (*)
Ta lại có: x + y + z = 0
=> x + y = -z => \(\left(x+y\right)^3=-z^3\)
=> \(x^3+3x^2y+3xy^2+y^3=-z^3\)
=> \(x^3+y^3+z^3=-3x^2y-3xy^2\)
=> \(x^3+y^3+z^3=-3xy\left(x+y\right)\)
=> \(x^3+y^3+z^3=-3xy\left(-z\right)\) (vì x + y = -z)
=> \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)
Thay vào (*) ta có:
\(M=\frac{1}{2}\frac{3xyz}{xyz}=\frac{3}{2}\)
24 tháng 11 2018
Ta có
\(x+y+z+\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{y+x}=x+y+z\)
=> \(x+\frac{x^2}{y+z}+y+\frac{y^2}{z+x}+z+\frac{z^2}{y+x}=x+y+z\)
=> \(\frac{x\left(x+y+z\right)}{y+z}+\frac{y\left(x+y+z\right)}{z+x}+\frac{z\left(x+y+z\right)}{y+x}=x+y+z\)
=> \(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{y+x}=1\)
Cậu vào phần thống kê câu trả lời của mk ấy, ngay câu đầu tiên
tham khảo nha: Câu hỏi của Nguyễn Thị Phương Thảo - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath