cmr : \(1924^{2003^{2004^n}}+1920\) chia het cho 124
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TD
3
TT
0
BB
3
T
15 tháng 2 2020
1/ Ta có: \(1999^{30}\equiv\left(1999^2\right)^{15}\equiv8^{15}\equiv\left(8^3\right)^5\equiv16^5\equiv1\left(mod31\right)\)
\(\Rightarrow\left(1999^{30}\right)^{66}\equiv1\left(mod31\right)\Leftrightarrow1999^{1980}\equiv1\left(mod31\right)\) (1)
Lại có: \(1999^{21}\equiv\left(1999^2\right)^{10}.1999\equiv8^{10}.15\equiv\left(8^5\right)^2.15\equiv15\left(mod31\right)\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow1999^{1980}.1999^{21}\equiv15\Leftrightarrow1999^{2001}\equiv15\left(mod31\right)\)
Hay \(1999^{2001}\) chia cho 31 có số dư là 15.
P/s: Cả năm nay không làm dạng này nên không chắc nha! Lục nghề mất r
T
15 tháng 2 2020
2) Khó đây, không chắc đâu. Mình thử dùng quy nạp:
Trước hết ta chứng minh nó với n = 1. Tức là chứng minh \(1924^{2003^{2004}}+1920⋮124\)
\(\Leftrightarrow1924^{2003^{2004}}+1920\equiv0\left(mod124\right)\)
Tách: 124 =4 . 31
Ta có: \(1924\equiv0\left(mod4\right)\Leftrightarrow1924^{2003^{2004}}\equiv0\left(mod4\right)\)
Lại có: \(1924^{30}\equiv1\left(mod31\right)\) (bạn tự chứng minh được mà:D)
Mà: \(2003^{2004}\equiv23^{2004}\equiv19^{1002}\equiv\left(19^2\right)^{501}\equiv1\left(mod30\right)\)
Đặt \(2003^{2004}=30k+1\). Do đó \(1924^{2003^{2004}}=1924^{30k+1}=\left(1924^{30}\right)^k.1924\equiv1.1924\equiv2\left(mod31\right)\)
\(\Rightarrow1924^{2003^{2004}}-2\equiv0\left(mod31\right)\)
\(\Rightarrow1924^{2003^{2004}}-2-31.2\equiv0\left(mod31\right)\)
\(\Rightarrow1924^{2003^{2004}}-64\equiv0\left(mod31\right)\)
Mà \(1924^{2003^{2004}}-64\equiv0\left(mod4\right)\)
Suy ra \(1924^{2003^{2004}}-64\equiv0\left(mod4.31=124\right)\)
Do đó: \(1924^{2003^{2004}}+1920\equiv64+1920\equiv0\left(mod124\right)\)
Vậy nó đúng trong trường hợp n = 1. Ta giả sử nó đúng đến n = k.
Tức là: \(1924^{2003^{2004^k}}+1920⋮124\)
Ta đi chứng minh: \(1924^{2003^{2004^{k+1}}}+1920⋮124\)
Tới đây bí cmnr:(
QT
0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
6 tháng 8 2017
Lời giải:
a)
Ta có \(A=7.5^{2n}+12.6^n=7.25^n+12.6^n\)
Vì \(25\equiv 6\pmod {19}\Rightarrow 7.25^n\equiv 7.6^n\pmod {19}\)
Do đó \(A\equiv 7.6^n+12.6^n\equiv 19.6^n\equiv 0\pmod {19}\)
Ta có đpcm.
b) Đặt biểu thức là $B$ .
Dễ thấy \(1924,1920\vdots 4\Rightarrow B\vdots 4(1)\)
Có \(2003\equiv -7\pmod {30}\Rightarrow 2003^{2004^n}\equiv (-7)^{2004^n}\equiv 7^{2004^n}\pmod {30}\)
Mặt khác \(7^4\equiv 1\pmod {30}\) , \(2004^n\vdots 4\) nên \(7^{2004^n}\equiv 1\pmod {30}\)
Từ hai điều trên suy ra \(2003^{2004^n}\equiv 1\pmod {30}\) . Đặt \(2003^{2004^n}=30k+1\)
Khi đó \(1924^{2003^{2004^n}}+1920=1924^{30k+1}+1924\)
Vì \(UCLN(1924,31)=1\) nên áp dụng định lý Fermat nhỏ:
\(1924^{30}\equiv 1\pmod {31}\Rightarrow 1924^{30k}\equiv 1\pmod{31}\)
\(\Rightarrow 1924^{30k+1}\equiv 1924\pmod {31}\Rightarrow 1924^{30k+1}+1920\equiv 1924+1920\equiv 3844\equiv 0\pmod{31}\)
Do đó \(B\vdots 31\) \((2)\)
Từ \((1),(2)\) và \((31,4)=1\Rightarrow B\vdots (31.4=124)\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
6 tháng 8 2017
c)
\(5^{2n+1}+2^{n+4}+2^{n+1}=5^{2n+1}+2^{n+1}(2^3+1)\)
\(=5^{2n+1}+18.2^n=5.25^n+18.2^n\)
\(\equiv 5.2^{n}+18.2^n\pmod {23}\)
\(\Leftrightarrow 5^{2n+1}+2^{n+4}+2^{n+1}\equiv 23.2^n\equiv 0\pmod {23}\)
Ta có đpcm.