Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh rằng .
\(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c\) Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
KN
12 tháng 6 2020
Vì abc = 1 nên \(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1}\)\(=\frac{ac}{abc+ac+c}+\frac{abc}{abc^2+abc+ac}+\frac{c}{ca+c+1}\)
\(=\frac{ac}{ac+c+1}+\frac{1}{ac+c+1}+\frac{c}{ac+c+1}=\frac{ac+c+1}{ac+c+1}=1\)(*)
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức và áp dụng đẳng thức (*), ta được:
\(\frac{a}{\left(ab+a+1\right)^2}+\frac{b}{\left(bc+b+1\right)^2}+\frac{c}{\left(ca+c+1\right)^2}\)\(=\frac{\left(\frac{a}{ab+a+1}\right)^2}{a}+\frac{\left(\frac{b}{bc+b+1}\right)^2}{b}+\frac{\left(\frac{c}{ca+c+1}\right)^2}{c}\)
\(\ge\frac{\left(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1}\right)^2}{a+b+c}=\frac{1}{a+b+c}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
15 tháng 7 2017
\(\frac{2\left(Σab\right)}{Σa^2}\le\frac{2\left(Σa^2\right)}{a^2}=2\)
tuc la can cm \(Σ\frac{a}{b+c}\le\frac{7}{2}-2=\frac{3}{2}\)
Nguoc dau voi BDT Nesbitt
vay BDT sai ko xay ra dau = maybe :3
15 tháng 7 2017
Bất đẳng thức này mà ko loạn dấu thì tự làm đc r. Nhưng vế trước>=3/2, vế sau<=2 quá loạn dấu
21 tháng 6 2020
Ta có a, b , c là 3 cạnh của 1 tam giác
=> Đặt: z = a + b - c > 0 ; x = b + c - a> 0 ; y = a + c - b>0
khi đó: x + y + z = a + b + c
và \(a=\frac{y+z}{2};b=\frac{x+z}{2};c=\frac{x+y}{2}\)
Để chứng minh: \(\frac{ab}{a+b-c}+\frac{bc}{-a+b+c}+\frac{ac}{a-b+c}\ge a+b+c\)(1)
Ta cần chứng minh:
\(\frac{\left(y+z\right)\left(x+z\right)}{4z}+\frac{\left(x+z\right)\left(z+y\right)}{4x}+\frac{\left(y+z\right)\left(x+y\right)}{4y}\ge x+y+z\)
<=> \(\frac{xy+xz+zy+x^2}{z}+\frac{yz+x^2+yx+xz}{x}+\frac{xz+xy+y^2+yz}{y}\ge4\left(x+y+z\right)\)
<=> \(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\ge x+y+z\)(2)
Ta có: \(\frac{\left(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\right)^2}{3}\ge\frac{xy}{z}.\frac{yz}{x}+\frac{yz}{x}.\frac{zx}{y}+\frac{zx}{y}.\frac{xy}{z}\)
\(=x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\) với mọi x; y ; z
<=> \(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\ge x+y+z\) với mọi x; y ; z dương
Vậy (2) đúng do đó (1) đúng,
21 tháng 6 2020
Nguyễn Linh Chi hỏi nhé : nếu x + y + z thì phải = 2 ( a + b + c ) chứ
S
23 tháng 5 2017
\(VT=\sqrt{\frac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}+\sqrt{\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\sqrt{\frac{ca}{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}}{2}\)
Tượng tự ta có \(\hept{\begin{cases}\sqrt{\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}}{2}\\\sqrt{\frac{ca}{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}}\le\frac{\frac{c}{b+c}+\frac{a}{a+b}}{2}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b}\right)+\left(\frac{c}{a+c}+\frac{a}{c+a}\right)+\left(\frac{c}{b+c}+\frac{b}{c+b}\right)}{2}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{\frac{a+b}{a+b}+\frac{c+a}{c+a}+\frac{b+c}{b+c}}{2}=\frac{3}{2}\) ( đpcm )
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
18 tháng 12 2016
Cauchy ở mẫu \(a^2+bc\ge2a\sqrt{bc}\)
Vậy vế trái \(\le\frac{1}{2a\sqrt{bc}}+\frac{1}{2b\sqrt{ca}}+\frac{1}{2c\sqrt{ab}}=\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2abc}\)
Và lượng trên tử bé hơn bằng \(ab+bc+ca\)
14 tháng 4 2018
Do p là nửa chu vi tam giác nên \(2p=a+b+c\)
Ta có bổ đề sau: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2\ge4xy\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Áp dụng vào bài toán:
\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\ge\frac{4}{p-a+p-b}=\frac{4}{2p-a-b}=\frac{4}{c}\)
Tương tự: \(\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge\frac{4}{a},\)\(\frac{1}{p-c}+\frac{1}{p-a}\ge\frac{4}{b}\)
\(\Rightarrow2\left(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\right)\ge\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c}=4\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)(đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c.
\(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge2\sqrt{\frac{abc^2}{ab}}=2c\)
Tương tự và cộng lại có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\) hay tam giác đều