cho các số thực không âm đôi một khác nhau thỏa mãn \(\left(x+z\right)\left(z+y\right)=1\)
Cmr: \(\frac{1}{\left(x-y\right)^2}+\frac{1}{\left(x+z\right)^2}+\frac{1}{\left(z+y\right)^2}\ge4\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
1 tháng 12 2016
Ta đặt \(\hept{\begin{cases}x+z=a\\y+z=b\end{cases}\Rightarrow ab=1}\)
\(BĐT\Leftrightarrow\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge4\)
Ta có
\(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{\left(a-\frac{1}{a}\right)^2}+a^2+\frac{1}{a^2}\)
\(=\frac{1}{\left(a-\frac{1}{a}\right)^2}+\left(a-\frac{1}{a}\right)^2+2\)
\(\ge2+2=4\)
18 tháng 4 2020
Ta có:
\(\frac{x}{1+x^2}+\frac{18y}{1+y^2}+\frac{4z}{1+z^2}=xyz\left(\frac{1}{yz\left(1+x^2\right)}+\frac{18}{xz\left(1+y^2\right)}+\frac{4}{xy\left(1+z^2\right)}\right)\)
\(=xyz\left(\frac{1}{yz+x\left(x+y+z\right)}+\frac{18}{xz+y\left(x+y+z\right)}+\frac{4}{xy+z\left(x+y+z\right)}\right)\)
\(=xyz\left(\frac{1}{\left(x+y\right).\left(x+z\right)}+\frac{18}{\left(y+x\right).\left(y+z\right)}+\frac{4}{\left(z+x\right).\left(z+y\right)}\right)\)
\(=xyz.\frac{\left(z+y\right)+18.\left(x+z\right)+4\left(x+y\right)}{\left(x+y\right).\left(y+z\right).\left(z+x\right)}\)
\(=\frac{xyz\left(22x+5y+19z\right)}{\left(x+y\right).\left(y+z\right).\left(z+x\right)}\)(đpcm)
28 tháng 7 2019
Đặt \(x+z=a;y+z=b\left(a,b\ge0\right)\)=> ab=1
=> \(A=\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+b^2+a^2\)
\(=\left(a-b\right)^2+\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+2\ge2+2=4\)(Do ab=1)(ĐPCM)
Dấu bằng xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a-b=\pm1\\ab=1\end{cases}}\)=> \(\hept{\begin{cases}x+z=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\y+z=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}x+z=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\\y+z=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\end{cases}}\)
28 tháng 7 2019
Đặt \(\hept{\begin{cases}x+z=a\\y+z=b\end{cases}}\)từ giả thiết => ab=1
\(\Rightarrow A=\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\)
\(=\frac{1}{a^2+b^2-2}+a^2+b^2=\frac{1}{a^2+b^2-2}+a^2+b^2-2+2\)
Áp dụng bđt AM-GM ta có
\(\frac{1}{a^2+b^2-2}+a^2+b^2-2\ge2\sqrt{\frac{a^2+b^2-2}{a^2+b^2-2}}=2\)
\(\Rightarrow A\ge4\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x+z=1\\y+z=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y\ge0\\z\ge0\end{cases}}}\)
N
24 tháng 12 2018
\(\Rightarrow3+\frac{y+z-2x}{x}=3+\frac{x+z-2y}{y}=3+\frac{x+y-2z}{z}\)
\(\Rightarrow\frac{x+y+z}{x}=\frac{x+y+z}{y}=\frac{x+y+z}{z}\)
\(TH1:x+y+z=0\)
\(\Rightarrow x=-\left(y+z\right),y=-\left(x+z\right),z=-\left(x+y\right)\)
\(A=\left(1+\frac{-y-z}{y}\right).\left(1+\frac{-x-z}{z}\right).\left(1+\frac{-x-y}{x}\right)\)
\(A=-\left(\frac{z}{y}\cdot\frac{x}{z}\cdot\frac{y}{x}\right)=-1\)
\(TH2:x+y+z\ne0\)
\(\Rightarrow x=y=z\Rightarrow A=2^3=8\)
sai đề ròi: tớ làm 2 trường hợp luôn vì trường hợp x+y+z khác 0 thì A mới t/m thuộc N
mà đề là x+y+z khác 0 -.-
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
26 tháng 6 2020
Nếu \(\frac{1}{\left(x-y\right)^2}\) thì nó đây:
Câu hỏi của Nguyễn Ngọc Lan - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 5 2020
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x-y=a\\x-z=b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow z-y=a-b\) và \(ab=1\)
\(VT=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{\left(a-b\right)^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}+\frac{1}{\left(a-b\right)^2}\)
\(VT=a^2+b^2+\frac{1}{\left(a-b\right)^2}=\left(a-b\right)^2+\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+2ab=\left(a-b\right)^2+\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+2\)
\(VT\ge2\sqrt{\frac{\left(a-b\right)^2}{\left(a-b\right)^2}}+2=4\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-y\right)\left(x-z\right)=1\\\left(y-z\right)^2=1\end{matrix}\right.\)