Cho a,b,c>0 t/m: abc=1. Cmr:
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TP
0
TA
1
15 tháng 1 2018
Đặt (x3;y3;z3)=(a;b;c)(x,y,z>0)(x3;y3;z3)=(a;b;c)(x,y,z>0)
⇒xyz=1⇒xyz=1
Ta cần chứng minh
1x3+y3+1+1y3+z3+1+1z3+x3+1≤11x3+y3+1+1y3+z3+1+1z3+x3+1≤1
Áp dụng AM-GM, ta có: x3+y3+1=(x+y)(x2−xy+y2)+xyzx3+y3+1=(x+y)(x2−xy+y2)+xyz
≥(x+y)xy+xyz=xy(x+y+z)≥(x+y)xy+xyz=xy(x+y+z)
⇒1x3+y3+1≤1xy(x+y+z)⇒1x3+y3+1≤1xy(x+y+z)
Tương tự: 1y3+z3+1≤1yz(x+y+z)1y3+z3+1≤1yz(x+y+z)
1z3+x3+1≤1zx(x+y+z)1z3+x3+1≤1zx(x+y+z)
Cộng vế theo vế, ta được
....≤1x+y+z(1xy+1yz+1xz)=1x+y+z.x+y+zxyz=1xyz=1....≤1x+y+z(1xy+1yz+1xz)=1x+y+z.x+y+zxyz=1xyz=1
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1
NN
0
PV
2
17 tháng 8 2018
do abc=1 nên đặt a=x/y;b=y/z;c=z/x
\(P=\sum\sqrt[4]{\dfrac{a+b}{c+1}}=\sum\sqrt[4]{\dfrac{\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}}{\dfrac{z}{x}+1}}=\sum\sqrt[4]{\dfrac{x\left(xz+y^2\right)}{yz\left(x+z\right)}}\)
ta có\(\dfrac{x\left(x+z\right)\left(xz+y^2\right)}{yz\left(x+z\right)^2}=\dfrac{x\left(x\left(z^2+y^2\right)+z\left(x^2+y^2\right)\right)}{yz\left(x+z\right)^2}\)
\(\ge\dfrac{x\sqrt{xz}\left(x+y\right)\left(z+y\right)}{yz\left(x+z\right)^2}\)(cô si 2 số)
P>=\(\sum\sqrt[4]{\dfrac{x\sqrt{xz}\left(x+y\right)\left(z+y\right)}{\left(x+z\right)^2yz}}\)>=3(cô si 3 số)
NT
0
2 tháng 6 2017
Câu 2: \(\left(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\right)^2=\left(\frac{xy}{z}\right)^2+\left(\frac{yz}{x}\right)^2+\left(\frac{xz}{y}\right)^2+2\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(=\left(\frac{xy}{z}\right)^2+\left(\frac{yz}{x}\right)^2+\left(\frac{xz}{y}\right)^2+6\)
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có :
\(\left(\frac{xy}{z}\right)^2+\left(\frac{yz}{x}\right)^2+\left(\frac{xz}{y}\right)^2\ge3\sqrt[3]{\left(\frac{xy}{z}\right)^2\left(\frac{yz}{x}\right)^2\left(\frac{xy}{y}\right)^2}=3\sqrt[3]{\frac{\left(xyz\right)^4}{\left(xyz\right)^2}}=3\)\(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\ge\sqrt{3+6}=3\left(dpcm\right)\)
DD
3 tháng 6 2017
tại sao lại suy ra đc \(3\sqrt[3]{\frac{\left(xyz\right)^4}{\left(xyz\right)^{^2}}}=3\) vậy cậu?
????
Cái gì z bn