cho ba số thực x,y,z>0 thỏa mãn xyz=1. CMR: \(\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{z+x+1}\le1\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
27 tháng 3 2017
Ta chứng minh
\(a+b\ge\sqrt[3]{ab}\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}\right)^2\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)\ge0\)(đúng )
Áp đụng vào bài toán ta được
\(\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{z+x+1}\)
\(\le\frac{1}{\sqrt[3]{xy}\left(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}\right)+1}+\frac{1}{\sqrt[3]{yz}\left(\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}\right)+1}+\frac{1}{\sqrt[3]{zx}\left(\sqrt[3]{z}+\sqrt[3]{x}\right)+1}\)
\(=\frac{\sqrt[3]{z}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}+\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}+\frac{\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}=1\)
30 tháng 10 2019
ui, đề thi HSG huyện mình nè. cậu huyện nào mà đăng thế
chứng minh BĐT : \(a^3+b^3+1\ge ab\left(a+b\right)\) với a>0,b>0
\(\Rightarrow a^3+b^3+1\ge ab\left(a+b\right)+abc=ab\left(a+b+c\right)\)
áp dụng BĐT trên,ta có:
\(x+y+1\ge\sqrt[3]{xy}\left(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{x+z+1}\le\frac{1}{\sqrt[3]{xy}\left(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}\right)}+\frac{1}{\sqrt[3]{yz}\left(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}\right)}+\frac{1}{\sqrt[3]{xz}\left(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}\right)}\)
\(=\frac{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}{\sqrt[3]{xyz}\left(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}\right)}=1\)
Dấu " = " xảy ra khi x = y = z = 1
UI
30 tháng 10 2019
Ap dung bdt \(a+b\ge\sqrt[3]{a^2b}+\sqrt[3]{ab^2}\left(a,b\ge0\right)\)
ta co \(x+y\ge\sqrt[3]{xy}\left(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}\right)\)
ma \(xyz=1=>\sqrt[3]{xy}=\frac{1}{\sqrt[3]{z}}\)
nen \(x+y\ge\frac{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{z}}\)
=> \(x+y+1\ge\frac{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}{\sqrt[3]{z}}\)
=>\(\frac{1}{x+y+1}\le\frac{\sqrt[3]{z}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}\)
chung minh tuong tu cung co \(\frac{1}{x+z+1}\le\frac{\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}\) va \(\frac{1}{z+y+1}\le\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}\)
cong 3 bdt cung chieu ta duoc
\(\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{x+z+1}+\frac{1}{y+z+1}\le\frac{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}=1\)
dau = xay ra khi x=y=z=1
Chuc ban hoc tot !!!
31 tháng 7 2020
vì 0<x,y,z\(\le\)1 nên (1-x)(1-y) >=0 <=> 1+xy >= x+y
<=> 1+z+xy >= x+y+z
<=> \(\frac{y}{1+z+xy}\le\frac{y}{x+y+z}\left(1\right)\)
tương tự có \(\frac{x}{1+y+xz}\le\frac{x}{x+y+z}\left(2\right);\frac{z}{1+x+xy}\le\frac{z}{x+y+z}\left(3\right)\)
cộng theo vế của (1), (2), (3) ta được
\(\frac{x}{1+y+xz}+\frac{y}{1+z+xy}+\frac{z}{1+x+yz}\le\frac{x+y+z}{x+y+z}\le\frac{3}{x+y+z}\)
dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1
LM
Cho ba số thực x,y,z thỏa mãn: xyz=1. CMR:
A=\(\frac{1}{1+x+xy}+\frac{1}{1+y+yz}+\frac{1}{1+z+zx}=1\)
1
21 tháng 10 2016
Ta có
\(\frac{1}{1+x+xy}=\frac{1}{1+x+\frac{1}{z}}=\frac{z}{z+xz+1}\)
\(\frac{1}{1+y+yz}=\frac{1}{1+\frac{1}{xz}+yz}=\frac{xz}{xz+1+z}\)
Từ đó ta có
A = \(\frac{z}{1+z+xz}+\frac{xz}{1+z+xz}+\frac{1}{1+z+xz}\)
= \(\frac{1+z+xz}{1+z+xz}=\:1\)
16 tháng 2 2018
\(x+\frac{1}{y}=y+\frac{1}{z}=z+\frac{1}{x}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-y=\frac{1}{z}-\frac{1}{y}=\frac{y-z}{xy}\\y-z=\frac{1}{x}-\frac{1}{z}=\frac{z-x}{xz}\\z-x=\frac{1}{y}-\frac{1}{x}=\frac{x-y}{xy}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)=\frac{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}{\left(xyz\right)^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(xyz\right)^2}=1\Rightarrow xyz=\pm1\)(đpcm)
KN
11 tháng 10 2020
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta được: \(2yz+2=x^2+\left(y^2+2yz+z^2\right)=x^2+\left(y+z\right)^2\ge2\sqrt{x^2.\left(y+z\right)^2}=2x\left(y+z\right)\Rightarrow yz+1\ge x\left(y+z\right)\)\(\Rightarrow VT\le\frac{x^2}{x^2+x+x\left(y+z\right)}+\frac{y+z}{x+y+z+1}+\frac{1}{xyz+3}=\frac{x+y+z}{x+y+z+1}+\frac{1}{xyz+3}\)
- Nếu \(x+y+z\le2\)thì \(VT\le1-\frac{1}{x+y+z+1}+\frac{1}{xyz+3}\le1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1\)
- Nếu \(x+y+z\ge2\), ta đặt x + y + z = p; xy + yz + zx = q; xyz = r thì áp dụng bất đẳng thức Schur, ta được \(VT\le\frac{p}{p+1}+\frac{1}{\frac{p\left(4q-p^2\right)}{9}+3}=\frac{p}{p+1}+\frac{9}{p^3-4p+27}\)
Khảo sát hàm trên với \(p\in\left[\sqrt{2};2\right]\)ta cũng có \(VT\le1\)
Vậy ta có: \(\frac{x^2}{x^2+yz+x+1}+\frac{y+z}{x+y+z+1}+\frac{1}{xyz+3}\le1\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = 1; z = 0
Đề đúng không bạn?
Đúng bạn ạ
Mình giải ra rồi