Question

[Gia Linh Trần]

Cho tam giác ABC có A=B+2C và độ dài 3 cạnh là 3 số tự nhiên liên tiếp . tính độ dài

Answer 1

[Gia Khang - 15 Trần Đặng]

a) Tính độ dài 3 cạnh:

Kẻ AD trong tam giác ABC sao cho AC=AD (D thuộc BC).

cmđ: tam giác ACD cân tại C.

Theo đề ta có: A = B+2C

<=> A= (B+C)+C

<=> A= 180-A +C ( do A + B + C = 180, định lý tổng ba góc)

<=> 2A = 180 + C 

<=> A = (180 + C)/2 (1)

Xét tam giác ACD cân tại C: 

C + 2.CDA= 180 (định lý tổng ba góc)

<=> C = 180 - 2.CDA (2)

Thay (2) vào (1):

=> A= (180+180-2CDA)/2

<=> A = (360-2CDA)/2

<=> A = 180 - CDA

mà ADB = 180 - CDA (hai góc kề bù)

<=> A = ADB

Xét tam giác ABC và tam giác DBA có: góc B chung và A = ADB

=> tam giác ABC đồng dạng tam giác DBA.

=> AB/DB=BC/AB

<=> AB^2 = BC. DB

<=> AB^2 = BC.(BC-CD)
<=> AB^2 = BC.(BC-AC) (do CD= AC) (3)

Dễ dàng nhận thấy góc A = (180+C)/2 nên A là góc tù, suy ra cạnh BC là cạnh lớn nhất (tính chất góc-cạnh đối). Lại có độ dài 3 cạnh bằng 3 số tự nhiên liên tiếp. Vậy ta có 2 trường hợp:

TH1: BC-AC= 1 (ờ đây, AB<AC<BC nên BC= AB+2, từ đó giải được giá trị 3 cạnh như sau):

(3) <=>  AB^2 = BC.1 <=> AB^2 = AB + 2 (do BC= AB+2)

<=> AB = 2 (nhận) hoặc AB=-1 (loại)

Vậy AB=2, AC=3, BC=4 thỏa mãn điều kiện đề bài (là 3 cạnh của 1 tam giác).

TH2: BC-AC=2 (ở đây, AC<AB<BC, nên BC = AB+1)

(3) <=> AB^2 = BC.2 <=> AB^2 = 2AB +2 <=> AB = 1+-\(\sqrt{3}\) (loại do không phải số tự nhiên)

(Đáp án này do TĐG. Phước tham khảo và tổng hợp lời giải năm 2022)

b) Kẻ đường cao AH (H thuộc BC)

(Ghi chú: ở đây dạng bài đã trở nên đơn giản hơn vì mục tiêu chính là tính 3 góc, vì thế ta cần áp dụng định lý Côsin. Tuy nhiên, học sinh lớp 9 cần phải chứng minh định lý này, vì thế mình vẫn sẽ c/m như bình thường.)

Bổ đề: Chứng minh định lý Côsin:

Ta có HC= |AC-AH| (H thuộc BC)

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác BHC vuông tại A:

BC^2 = BH^2 + HC^2 = BH^2 + (AC-AH)^2= BH^2 + AH^2 + AC^2 -2.AC.AH

mà BH^2 + AH^2 = AB^2 (định lý Pytago trong tam giác ABH)

<=> BC^2 = AB^2 + AC^2 -2AC.AH

ta lại có AH = AB. cosA (tỉ số lượng giác trong tam giác ABH)

<=> BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AC.AB. cosA

Chứng minh tương tự được:

AC^2= AB^2+BC^2 - 2.AB.BC. cosB và AB^2 = AC^2 + BC^2 -2AC.BC.cosC

Thay AB= 2, AC = 3, BC = 4 vào, ta tính được giá trị của 3 góc:

A = 104,47751 ; B = 46,56746 ; C = 28,95503

Cảm ơn mọi người đã dành thời gian để đọc bài giải này của Phước.