Cho a,b,c >0 . Chứng minh rằng : \(\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+2b}=1+\frac{b}{b+2a}+\frac{c}{c+2b}+\frac{a}{a+2c}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 4 2019
Cho \(a=b=c\) ta có:
\(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\ge1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\Leftrightarrow1\ge2\)
Bất đẳng thức sai
KH
9 tháng 5 2019
Cho \(a=b=c\)
\(\Rightarrow2\left(\frac{a}{a+2a}+\frac{a}{a+2a}+\frac{a}{a+2a}\right)\ge1+\frac{a}{a+2a}+\frac{a}{a+2a}+\frac{a}{a+2a}\)
\(\Leftrightarrow2\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\right)\ge1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\)
\(\Leftrightarrow2\ge2\) ( Đúng)
\(\Rightarrow2\left(\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+2b}\right)\ge1+\frac{b}{b+2a}+\frac{c}{c+2b}+\frac{a}{a+2c}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 11 2019
\(VT=\frac{b^2c^2}{b+c}+\frac{a^2c^2}{a+c}+\frac{a^2b^2}{a+b}\ge\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}\ge\frac{3abc\left(a+b+c\right)}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
TN
1 tháng 4 2017
Bài 1:
\(BDT\Leftrightarrow\sqrt{\frac{3}{a+2b}}+\sqrt{\frac{3}{b+2c}}+\sqrt{\frac{3}{c+2a}}\le\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\ge\sqrt{3}\left(\frac{1}{\sqrt{a+2b}}+\frac{1}{\sqrt{b+2c}}+\frac{1}{\sqrt{c+2a}}\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz và BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{b}}\ge\frac{9}{\sqrt{a}+\sqrt{2}\cdot\sqrt{2b}}\ge\frac{9}{\sqrt{\left(1+2\right)\left(a+2b\right)}}=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{a+2b}}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\ge\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{b+2c}};\frac{1}{\sqrt{c}}+\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{a}}\ge\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{c+2a}}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(3\left(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\right)\ge3\sqrt{3}\left(\frac{1}{\sqrt{a+2b}}+\frac{1}{\sqrt{b+2c}}+\frac{1}{\sqrt{c+2a}}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\ge\sqrt{3}\left(\frac{1}{\sqrt{a+2b}}+\frac{1}{\sqrt{b+2c}}+\frac{1}{\sqrt{c+2a}}\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
Bài 2: làm mãi ko ra hình như đề sai, thử a=1/2;b=4;c=1/2
1 tháng 4 2017
Bài 2/
\(\frac{bc}{a^2b+a^2c}+\frac{ca}{b^2c+b^2a}+\frac{ab}{c^2a+c^2b}\)
\(=\frac{b^2c^2}{a^2b^2c+a^2c^2b}+\frac{c^2a^2}{b^2c^2a+b^2a^2c}+\frac{a^2b^2}{c^2a^2b+c^2b^2a}\)
\(=\frac{b^2c^2}{ab+ac}+\frac{c^2a^2}{bc+ba}+\frac{a^2b^2}{ca+cb}\)
\(\ge\frac{\left(bc+ca+ab\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{ab+bc+ca}{2}\)
\(\ge\frac{3\sqrt[3]{ab.bc.ca}}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=1\)
15 tháng 5 2018
Mình nhầm, phải là \(\le\frac{1}{3}\)mọi người làm giúp mình với mình cần gấp
1 tháng 8 2020
Theo BĐT Cauchy Schwarz và các biến đổi cơ bản ta dễ có được:
\(\frac{a^2}{\left(2a+b\right)\left(2a+c\right)}=\frac{a^2}{2a\left(a+b+c\right)+2a^2+bc}=\frac{1}{9}\left[\frac{\left(2a+a\right)^2}{2a\left(a+b+c\right)+2a^2+bc}\right]\)
\(\le\frac{1}{9}\left[\frac{4a^2}{2a\left(a+b+c\right)}+\frac{a^2}{2a^2+bc}\right]=\frac{1}{9}\left(\frac{2a}{a+b+c}+\frac{a^2}{2a^2+bc}\right)\)
\(\Rightarrow LHS\le\frac{1}{9}\left(2+\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ca}+\frac{c^2}{2c^2+ab}\right)\)
Tiếp tục theo BĐT Cauchy Schwarz dạng Engel:
\(\frac{a^2}{a^2+2bc}+\frac{b^2}{b^2+2ca}+\frac{c^2}{c^2+2ab}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=1\)
Ta thực hiện phép đổi biến thì:
\(\frac{ab}{ab+2c^2}+\frac{bc}{bc+2a^2}+\frac{ca}{ca+2b^2}\ge1\)
Đến đây là phần của bạn
LD
12 tháng 3 2021
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}=0\Leftrightarrow\frac{bc+ac-ab}{abc}=0\)
Vì \(a,b,c\ne0\Rightarrow abc\ne0\)
\(\Rightarrow bc+ac-ab=0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(bc+ac\right)^2=\left(ab\right)^2\\\left(bc-ab\right)^2=\left(-ac\right)^2\\\left(ac-ab\right)^2=\left(-bc\right)^2\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}b^2c^2+c^2a^2-a^2b^2=-2abc^2\\b^2c^2+a^2b^2-a^2c^2=2ab^2c\\a^2c^2+a^2b^2-b^2c^2=2a^2bc\end{cases}}}\)
\(\Rightarrow E=\frac{a^2b^2c^2}{2ab^2c}+\frac{a^2b^2c^2}{-2abc^2}+\frac{a^2b^2c^2}{2a^2bc}\)
\(\Rightarrow E=\frac{ac}{2}-\frac{ab}{2}+\frac{bc}{2}=\frac{ac-ab+bc}{2}=\frac{0}{2}=0\)
CHÚC BẠN HỌC TỐT
12 tháng 3 2021
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Leftrightarrow\frac{bc+ac-ab}{abc}=0\)
Vì \(a,b,c\ne0\Rightarrow a.b.c\ne0\)
\(\Rightarrow bc+ac-ab=0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(bc+ac\right)^2=\left(ab\right)^2\\\left(bc-ab\right)^2=\left(-ac\right)^2\\\left(ac-ab\right)^2=\left(-bc\right)^2\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}b^2c^2+c^2a^2-a^2b^2=-abc^2\\b^2c^2+a^2b^2-a^2c^2=2ab^2c\\a^2c^2+a^2b^2-b^2c^2=2a^2bc\end{cases}}\)
\(\Rightarrow E=\frac{a^2b^2c^2}{2ab^2c}+\frac{a^2b^2c^2}{-2abc^2}+\frac{a^2b^2c^2}{2a^2bc}\)
\(\Rightarrow E=\frac{ac}{2}-\frac{ab}{2}+\frac{bc}{2}=\frac{ac-ab+bc}{2}=\frac{0}{2}=0\)
Vậy \(E=0\)