Cho a,b,c là một số hữu tỉ và đôi một khác nhau chứng minh
A=\(\sqrt{\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}}\)là một số hữu tỉ
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
12 tháng 6 2021
Ta có: \(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}\)
\(=\left(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}\right)^2-2\left(\frac{1}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}+\frac{1}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}+\frac{1}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)}\right)\)
\(=\left(\frac{1}{\left(a-b\right)}+\frac{1}{\left(b-c\right)}+\frac{1}{c-a}\right)^2-2\left(\frac{c-a+a-b+b-c}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\right)\)
\(=\left(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}\right)^2\)
=> \(A=\sqrt{\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}}=\sqrt{\left(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}\right)^2}\)
\(=\left|\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}\right|\)
Vì a,b,c là các số hữu tỉ => \(\left|\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}\right|\)là một số hữu tỉ
=> A là một số hữu tỉ
VT
17 tháng 6 2017
ta có \(\left(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}\right)^2=\)\(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}+2\left(\frac{1}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}+\frac{1}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}+\frac{1}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)}\right)\)
= \(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}\)= A2
vậy A = \(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}\)là một số hữu tỉ
PN
13 tháng 7 2021
do bài này quá nhiều người đã đăng rồi nên mình sẽ gửi link qua phần tin nhắn cho bạn nhé
23 tháng 9 2019
Câu hỏi của Phạm Quang Dương - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
9 tháng 11 2021
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a-b=x\\b-c=y\\c-a=z\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x+y+z=0\)
\(\Leftrightarrow A=\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}}\\ \Leftrightarrow A=\sqrt{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2-2\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}\right)}\\ \Leftrightarrow A=\sqrt{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2-\dfrac{2\left(x+y+z\right)}{xyz}}\\ \Leftrightarrow A=\sqrt{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2-\dfrac{2\cdot0}{xyz}}\\ \Leftrightarrow A=\sqrt{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2}=\left|\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right|\left(đpcm\right)\)
15 tháng 9 2019
Thấy bài này chưa ai lm đúng nên cho e ké ạ:((
Đặt \(a-b=c;b-c=y;c-a=z\) khi đó \(x+y+z=0\)
Ta có:\(A=\sqrt{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}}\)
\(\Rightarrow A^2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+2\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)-2\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)\)
\(A^2=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2-2\cdot\frac{x+y+z}{xyz}\)
\(\Rightarrow A^2=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2\Rightarrow A=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\) là số hữu tỉ.
23 tháng 5 2018
Đặt \(a-b=x;b-c=y\Rightarrow c-a=x-y\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}}=\sqrt{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{\left(x+y\right)^2}}\)
\(=\sqrt{\frac{y^2\left(x+y\right)^2+x^2\left(x+y\right)^2+x^2y^2}{x^2y^2\left(x+y\right)^2}}=\sqrt{\frac{x^4+y^4+2xy^3+2x^3y+3x^2y^2}{x^2y^2\left(x+y\right)^2}}\)
\(=\sqrt{\frac{\left(x^2+y^2+xy\right)^2}{x^2y^2\left(x+y\right)^2}}=\left|\frac{x^2+y^2+xy}{xy\left(x+y\right)}\right|\) là một số hữu tỉ (ĐPCM)
DK
1 tháng 7 2016
Đặt \(x=a-b,y=b-c,z=c-a\)
\(\Rightarrow x+y+z=a-b+b-c+c-a=0\)
* \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+2\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)\)
\(=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{2\left(x+y+z\right)}{xyz}\)
\(=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\left(x+y+z=0\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}}=\sqrt{\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}=\left|\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right|\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}}=\left|\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}\right|\)
Vì a, b, c là 3 số hữu tỉ khác nhau từng đôi một
Nên \(\left|\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}\right|\)là số hữu tỉ
Vậy: \(\sqrt{\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}}\)là số hữu tỉ.
(Nhớ k cho mình với nhoa!)
26 tháng 6 2016
Đặt x = a - b; y = b - c => x + y = a - c. Xét biểu thức dưới căn:
\(B=\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}=\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(a-c\right)^2}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\)
\(B=\frac{\left(x+y\right)^2y^2+\left(x+y\right)^2x^2+x^2y^2}{x^2y^2\left(x+y\right)^2}=\frac{\left(x+y\right)^2\left(x^2+y^2\right)+x^2y^2}{x^2y^2\left(x+y\right)^2}\)
\(B=\frac{\left(x^2+y^2+2xy\right)\left(x^2+y^2\right)+x^2y^2}{x^2y^2\left(x+y\right)^2}=\frac{\left(x^2+y^2\right)^2+2xy\left(x^2+y^2\right)+x^2y^2}{x^2y^2\left(x+y\right)^2}=\frac{\left(x^2+y^2+xy\right)^2}{x^2y^2\left(x+y\right)^2}\)
Vậy, B là bình phương của 1 số hữu tỷ nên A là 1 số hữu tỷ. ĐPCM.
Để đỡ khó nhìn, ta đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a-b=x\\b-c=y\\c-a=z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x+y+z=0\) và \(x;y;z\in Q\)
\(A=\sqrt{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}}=\sqrt{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{2\left(x+y+z\right)}{xyz}}\)
\(A=\sqrt{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{2}{xy}+\frac{2}{xz}+\frac{2}{yz}}=\sqrt{\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}\)
\(A=\left|\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right|\Rightarrow A\) hữu tỉ
Bài giải