Cho x,y>0 và x+y=1 .Chứng minh rằng P= \(\frac{1}{x^3+y^3}+\frac{1}{xy}\ge4+2\sqrt{3}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
OH
1
ND
3 tháng 6 2019
P=1/(x+y)(x^2-xy+y^2)+1/xy
P=1/(x^2-xy+y^2)+1/xy ( vĩ+y=1)
P=1/(x^2-xy+y^2)+3/xy
Đến đây áp dụng bất đẳng thức Svac có
P>=(√3+1)^2/(x+y)^2
P>=(√3+1)^2 (vì x+y=1)
hay P>=4+2√3(đpcm)
23 tháng 8 2017
Tìm x :
a) ( x - 15 ) . 35 = 0
x - 15 = 0 : 35
x - 15 = 0
x = 0 + 15
x = 15
b) 32 ( x - 10 ) = 32
x - 10 = 32 : 32
x - 10 = 1
x = 1 + 10
x = 11
23 tháng 8 2017
\(\frac{1}{x^3+y^3}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{x^2-xy+y^2}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1+\frac{3xy}{x^3+y^3}+1+\frac{x}{y}+1+\frac{y}{x}\ge5\)
15 tháng 5 2020
Bạn kiểm tra lại đề
\(z=max\left\{x;y;z\right\}\)hay \(z=min\left\{x;y;z\right\}\)
25 tháng 1 2018
Đặt : A = 1/x^2+xy + 1/y^2+xy
Có : A = 1/x.(x+y) + 1/y.(x+y) = 1/x + 1/y ( vì x+y = 1 )
Áp dụng bđt 1/a + 1/b >= 4/a+b với mọi a,b > 0 cho x,y > 0 thì :
A >= 4/x+y = 4/1 = 4
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=1/2
=> ĐPCM
Tk mk nha
17 tháng 7 2019
Bài 1:
Theo BĐT AM-GM có :$(x+y+1)(x^2+y^2)+\dfrac{4}{x+y}\geq (x+y+1).2xy+\dfrac{4}{x+y}=2(x+y+1)+\dfrac{4}{x+y}=(x+y)+(x+y)+\dfrac{4}{x+y}+2\geq 2\sqrt{xy}+2\sqrt{(x+y).\dfrac{4}{x+y}}+2=2+4+2=8$(đpcm)
Dấu \(=\) xảy ra khi \(x=y, xy=1\) và \(x+y=2\) hay \(x=y=1\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
17 tháng 7 2019
Bài 1:
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương:
\(x^2+y^2\geq 2xy=2\Rightarrow (x+y+1)(x^2+y^2)+\frac{4}{x+y}\geq 2(x+y+1)+\frac{4}{x+y}(1)\)
Tiếp tục áp dụng BĐT Cô-si:
\(2(x+y+1)+\frac{4}{x+y}=(x+y+2)+[(x+y)+\frac{4}{x+y}]\)
\(\geq (2\sqrt{xy}+2)+2\sqrt{(x+y).\frac{4}{x+y}}=(2+2)+4=8(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow (x+y+1)(x^2+y^2)+\frac{4}{x+y}\geq 8\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=1$
NP
2
TN
14 tháng 10 2016
\(P=\frac{1}{x^3+y^3}+\frac{1}{xy}\)
Ta có:
\(x+y=1\Rightarrow\left(x+y\right)^3=1\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)=1\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+3xy=1\)
\(\Rightarrow P=\frac{x^3+y^3+3xy}{x^3+y^3}+\frac{x^3+y^3+3xy}{xy}\)\(=4+\frac{3xy}{x^3+y^3}+\frac{x^3+y^3}{xy}\left(1\right)\)
Áp dụng Bđt Cô si ta có:
\(\frac{3xy}{x^3+y^3}+\frac{x^3+y^3}{xy}\ge2\sqrt{\frac{3xy}{x^3+y^3}\cdot\frac{x^3+y^3}{xy}}=2\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow P\ge4+2\sqrt{3}\)(Đpcm)
Dấu = khi \(\hept{\begin{cases}x+y=1\\x^3+y^3=\sqrt{3xy}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=1\\1-3xy=\sqrt{3xy}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=1\\3\sqrt{xy}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=1\\xy=\frac{6-2\sqrt{5}}{12}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow x^2-x+\frac{6-2\sqrt{5}}{12}=0\)\(\Leftrightarrow x,y=\frac{1\pm\sqrt{\frac{2\sqrt{5}-3}{3}}}{2}\)
TA
19 tháng 5 2017
1/ Sửa đề: \(x+y+z=\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(z+x\right)-2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(x-2\sqrt{xy}+y\right)+\left(y-2\sqrt{yz}+z\right)+\left(z-2\sqrt{zx}+x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2+\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2=0\)
Với mọi x, y, z ta luôn có: \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\ge0;\) \(\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2\ge0;\) \(\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2\ge0;\)
\(\Rightarrow\) \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2+\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2\ge0\)
Do đó dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2=0\\\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2=0\\\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2=0\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x=y\\y=z\\z=x\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) x = y = z
3/ Đây là BĐT Cô-si cho 2 số dương a và b, ta biến đổi tương đương để chứng minh
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\) \(\Leftrightarrow\) \(\left(a+b\right)^2\ge\left(2\sqrt{ab}\right)^2\) \(\Leftrightarrow\) \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\) \(a^2+b^2+2ab-4ab\ge0\) \(\Leftrightarrow\) \(a^2-2ab+b^2\ge0\) \(\Leftrightarrow\) \(\left(a-b\right)^2\ge0\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
2/ Vì x > y và xy = 1 áp dụng BĐT Cô-si ta được:
\(\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{\left(x-y\right)^2+2xy}{x-y}=\left(x-y\right)+\frac{1}{x-y}\ge2\sqrt{\left(x-y\right).\frac{1}{x-y}}=2\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x>y\\xy=1\\x-y=\frac{1}{x-y}\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\y=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\)
\(P=\frac{1}{\left(x+y\right)\left(\left(x+y\right)^2-3xy\right)}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{1-3xy}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{1-3xy}+\frac{3}{3xy}\ge\frac{\left(1+\sqrt{3}\right)^2}{1-3xy+3xy}=4+2\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{3+\sqrt{6\sqrt{3}-9}}{6}\\y=\frac{3-\sqrt{6\sqrt{3}-9}}{6}\end{matrix}\right.\) và hoán vị
Cụ thể hơn:
\(\frac{1}{1-3xy}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{1-3xy}+\frac{3}{3xy}\)
\(=\frac{1^2}{1-3xy}+\frac{\left(\sqrt{3}\right)^2}{3xy}\ge\frac{\left(1+\sqrt{3}\right)^2}{1-3xy+3xy}\)
Dấu "=" xảy ra khi
\(\frac{1-3xy}{1}=\frac{3xy}{\sqrt{3}}\Rightarrow1-3xy=\sqrt{3}xy\)