Có tồn tại số tự nhiên n để 2006 + n2 là một số chính phương hay ko? Vì sao?
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LK
0
NM
1
19 tháng 12 2015
Giả sử a2 + 2006 là số chính phương khi đó ta đặt n2 + 2006 = a2 (A thuộc Z) <=> a2 - n2 = 2006
<=> (A - n)(a + n) = 2006 (*)
Thấy a,n khác tính chẵn lẻ thì vế trái của (*) là số lẻ nên không thõa mãn (*)
Nếu a,n cùng tính chẵn hoặc lẻ thì (A - n) chia hết cho 2 và (a + n) chia hết cho 2 nên vế trái chia hết cho 4 và vế phải không chia hết cho 4 nên không thõa mãn (*)
Vậy không tồn tại n để n2 + 2006 là số chính phương
EC
3
AH
Akai Haruma
Giáo viên
3 tháng 2 2023
Lời giải:
Nếu $n=2k$ với $k$ tự nhiên. Khi đó:
$A=3^{2k}+4=9^k+4\equiv 1^k+4\equiv 5\pmod 8$
Nếu $n=2k+1$ với $k$ tự nhiên. Khi đó:
$A=3^{2k+1}+4=9^k.3+4\equiv 1^k.3+4\equiv 7\pmod 8$
Mà 1 scp khi chia 8 có dư 0, 1
$\Rightarrow A$ không thể là scp.
HV
2
18 tháng 11 2016
Dễ thấy: 2010 chia 4 dư 2
n2 là số chính phương nên chia 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1
=> 2010 + n2 chia 4 chỉ có thể dư 2 hoặc 3, không là số chính phương
Vậy không tồn tại số tự nhiên n thỏa mãn đề bài
10 tháng 11 2023
Dễ thấy: 2010 chia 4 dư 2
n2 là số chính phương nên chia 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1
=> 2010 + n2 chia 4 chỉ có thể dư 2 hoặc 3, không là số chính phương
Vậy không tồn tại số tự nhiên n thỏa mãn đề bài
NT
2
T
14 tháng 11 2016
giải sử 1002 + n2là số chính phương
=> 1002 + n2=a2
=> a2-n2=1002
mà hiệu của hai số chính phương chia 4 số dư chỉ có thể là 0 hoặc 1
mà 1002 chia 4 dư 2
=> không tồn tại số tự nhiên n để 1002 + n2 là số chính phương
LV
0
YS
15 tháng 5 2016
Đặt n2 + 2006 = a2 (a thuộc Z)
=> 2006 = a2 - n2 = (a - n)(a + n) (1)
Mà (a + n) - (a - n) = 2n chia hết cho 2
=>a + n và a - n có cùng tính chẵn lẻ
+)TH1: a + n và a - n cùng lẻ => (a - n)(a + n) lẻ, trái với (1)
+)TH2: a + n và a - n cùng chẵn => (a - n)(a + n) chia hết cho 4, trái với (1)
Vậy không có n thỏa mãn n2+2006 là số chính phương
b)Vì n là số nguyên tố lớn hơn 3 => n không chia hết cho 3
=> n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2 (k$$N*)
+) n = 3k + 1 thì n2 + 2006 = (3k + 1)2 + 2006 = 9k2 + 6k + 2007 chia hết cho 3 và lớn hơn 3
=> n2 + 2006 là hợp số
+) n = 3k + 2 thì n2 + 2006 = (3k + 2)2 + 2006 = 9k2 + 12k + 2010 chia hết cho 3 và lớn hơn 3
=> n2 + 2006 là hợp số
Vậy n2 + 2006 là hợp số
ko vì
Giả sử n^2 + 2006 = m^2 (m,n la số nguyên)
Suy ra n^2 - m^2 =2006 <==> ( n - m )( n + m ) = 2006
Gọi a = n - m, b = n + m ( a,b cũng là số nguyên)
Vì tích của a và b bằng 2006 la một số chẵn, suy ra trong 2 số a và b phải có ít nhất 1 số chẵn (1)
Mặt khác ta có: a + b = (n - m) + (n + m) = 2n là 1 số chẵn ==> a và b phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ(2)
Từ (1) và (2) suy ra a và b đều là số chẵn
Suy ra a = 2k , b= 2l ( với k,l là số nguyên)
Theo như trên ta có a.b = 2006 hay 2k.2l = 2006 hay 4.k.l = 2006
Vì k,l là số nguyên nên suy ra 2006 phải chia hết cho 4 ( điều này vô lý, vì 2006 không chia hết cho 4)
Vậy không tồn tại số nguyên n thỏa mãn đề bài đã cho.(đpcm)
Giả sử n^2 + 2006 = m^2 (m,n la số nguyên)
Suy ra n^2 - m^2 =2006 <==> ( n - m )( n + m ) = 2006
Gọi a = n - m, b = n + m ( a,b cũng là số nguyên)
Vì tích của a và b bằng 2006 la một số chẵn, suy ra trong 2 số a và b phải có ít nhất 1 số chẵn (1)
Mặt khác ta có: a + b = (n - m) + (n + m) = 2n là 1 số chẵn ==> a và b phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ(2)
Từ (1) và (2) suy ra a và b đều là số chẵn
Suy ra a = 2k , b= 2l ( với k,l là số nguyên)
Theo như trên ta có a.b = 2006 hay 2k.2l = 2006 hay 4.k.l = 2006
Vì k,l là số nguyên nên suy ra 2006 phải chia hết cho 4 ( điều này vô lý, vì 2006 không chia hết cho 4)
Vậy không tồn tại số nguyên n thỏa mãn đề bài đã cho.(đpcm)