cho 3 so a,b,c>0 và a+b+c=1 Tim min A=(a^2+b^2+c^2)+(ab+bc+ca)/(a^2b+b^2c+c^2a)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TG
0
T
0
BD
0
24 tháng 8 2021
1/ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel :
\(A\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{3}=\frac{3}{3}=1\)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1
E
5 tháng 12 2018
Ta có: \(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}=\sqrt{\dfrac{5}{4}\left(a+b\right)^2+\dfrac{3}{4}\left(a-b\right)^2}\ge\sqrt{\dfrac{5}{4}}\left(a+b\right)\)
Cmtt ta có: \(\sqrt{2b^2+bc+2c^2}\ge\sqrt{\dfrac{5}{4}}\left(b+c\right)\)
\(\sqrt{2c^2+ca+2a^2}\ge\sqrt{\dfrac{5}{4}}\left(c+a\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\sqrt{5}\left(a+b+c\right)\ge\dfrac{\sqrt{5}}{3}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2=\dfrac{\sqrt{5}}{3}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = \(\dfrac{1}{9}\)
CV
29 tháng 9 2016
Ta có:(Sử dụng bdt cô-si) \(\frac{bc}{a^2b+a^2c}+\frac{b+c}{4bc}\ge2\sqrt{\frac{bc}{a^2\left(b+c\right)}.\frac{b+c}{4bc}}=2.\frac{1}{2a}=\frac{1}{a}\)
=> \(\frac{bc}{a^2b+a^2c}\ge\frac{1}{a}-\frac{b+c}{4bc}\)
Chứng minh tương tự:\(\frac{ca}{b^2a+b^2c}\ge\frac{1}{b}-\frac{c+a}{4ca}\);\(\frac{ab}{c^2a+c^2b}\ge\frac{1}{c}-\frac{a+b}{4ab}\)
Từ đó \(P\ge\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-\left(\frac{b+c}{4bc}+\frac{c+a}{4ca}+\frac{a+b}{4ab}\right)\)
Mà\(\frac{b+c}{4bc}+\frac{c+a}{4ca}+\frac{a+b}{4ab}=\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}\)=> \(P\ge\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Ta có:\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\ge9\)(do a+b+c<=1)=> \(P\ge\frac{1}{2}.9=\frac{9}{2}\)
Dấu '=' xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}a+b+c=1\\\frac{bc}{a^2b+a^2c}=\frac{b+c}{4bc}\\a,b,c>0\end{cases}};...\)
<=> \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Vậy\(MinP=\frac{9}{2}\)khi a=b=c=1/3
YK
3 tháng 8 2018
ta có
\(\frac{a}{1+2b^3}=\frac{a\left(1+2b^3\right)-2ab^3}{1+2b^3}=a-\frac{2ab^3}{1+2b^3}\)
Vì \(1+2b^3\ge3b^2\left(cosi\right)\)
\(\Rightarrow a-\frac{2ab^3}{a+2b^3}\ge a-\frac{2}{3}ab\)
cmtt ta đc
P\(\ge a+b+c-\frac{2}{3}\left(ab+bc+ca\right)\)
\(P\ge a+b+c-2\)
mặt khác \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\ge ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge3\)
\(\Rightarrow P\ge3-2=1\)
Dấu = xảy ra a=b=c=1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
2 tháng 3 2017
Bài 3)
BĐT cần chứng minh tương đương với:
\(\left ( \frac{a}{a+b} \right )^2+\left ( \frac{b}{b+c} \right )^2+\left ( \frac{c}{c+a} \right )^2\geq \frac{1}{2}\left ( 3-\frac{a}{a+b}-\frac{b}{b+c}-\frac{c}{c+a} \right )\)
Để cho gọn, đặt \((x,y,z)=\left (\frac{b}{a},\frac{c}{b},\frac{a}{c}\right)\) \(\Rightarrow xyz=1\).
BĐT được viết lại như sau:
\(A=2\left [ \frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(y+1)^2}+\frac{1}{(z+1)^2} \right ]+\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\geq 3\) \((\star)\)
Ta nhớ đến hai bổ đề khá quen thuộc sau:
Bổ đề 1: Với \(a,b>0\) thì \(\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{1}{(b+1)^2}\geq \frac{1}{ab+1}\)
Cách CM rất đơn giản, Cauchy - Schwarz:
\((a+1)^2\leq (a+b)(a+\frac{1}{b})\Rightarrow \frac{1}{(a+1)^2}\geq \frac{b}{(a+b)(ab+1)}\)
Tương tự với biểu thức còn lại và cộng vào thu được đpcm
Bổ đề 2: Với \(x,y>0,xy\geq 1\) thì \(\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}\geq \frac{2}{xy+1}\)
Cách CM: Quy đồng ta có đpcm.
Do tính hoán vị nên không mất tổng quát giả sử \(z=\min (x,y,z)\)
\(\Rightarrow xy\geq 1\). Áp dụng hai bổ đề trên:
\(A\geq 2\left [ \frac{1}{xy+1}+\frac{1}{(z+1)^2} \right ]+\frac{2}{\sqrt{xy}+1}+\frac{1}{z+1}=2\left [ \frac{z}{z+1}+\frac{1}{(z+1)^2} \right ]+\frac{2\sqrt{z}}{\sqrt{z}+1}+\frac{1}{z+1}\)
\(\Leftrightarrow A\geq \frac{2(z^2+z+1)}{(z+1)^2}+\frac{1}{z+1}+2-\frac{2}{\sqrt{z}+1}\geq 3\)
\(\Leftrightarrow 2\left [ \frac{z^2+z+1}{(z+1)^2}-\frac{3}{4} \right ]+\frac{1}{z+1}-\frac{1}{2}-\left ( \frac{2}{\sqrt{z}+1}-1 \right )\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{(z-1)^2}{2(z+1)^2}-\frac{z-1}{2(z+1)}+\frac{z-1}{(\sqrt{z}+1)^2}\geq 0\Leftrightarrow (z-1)\left [ \frac{1}{(\sqrt{z}+1)^2}-\frac{1}{(z+1)^2} \right ]\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{\sqrt{z}(\sqrt{z}-1)^2(\sqrt{z}+1)(z+\sqrt{z}+2)}{(\sqrt{z}+1)^2(z+1)^2}\geq 0\) ( luôn đúng với mọi \(z>0\) )
Do đó \((\star)\) được cm. Bài toán hoàn tất.
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\)
P/s: Nghỉ tuyển lâu rồi giờ mới gặp mấy bài BĐT phải động não. Khuya rồi nên xin phép làm bài 3 trước. Hai bài kia xin khiếu. Nếu làm đc chắc tối mai sẽ post.
2 tháng 3 2017
Bài 1:
Cho \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\). Khi đó \(M=\sqrt{3}-2\)
Ta sẽ chứng minh nó là giá trị nhỏ nhất
Thật vậy, đặt c là giá trị nhỏ nhất của a,b,c. Khi đó, ta cần chứng minh
\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}-\frac{2(a^2+b^2+c^2)}{\sqrt{ab+ac+bc}}\geq(\sqrt3-2)\sqrt{ab+ac+bc}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{ab+ac+bc}\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}-\sqrt{3(ab+ac+bc)}\right)\geq2(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}-a-b+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}-\frac{b^2}{a}-c+a+b+c-\sqrt{3(ab+ac+bc)}\geq\)
\(\geq2((a-b)^2+(c-a)(c-b))\)
\(\Leftrightarrow(a-b)^2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-2\right)+(c-a)(c-b)\left(\frac{1}{a}+\frac{b}{ac}-2\right)+a+b+c-\sqrt{3(ab+ac+bc)}\geq0\)
Đúng bởi \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-2>0;\frac{1}{a}+\frac{b}{ac}-2\geq\frac{1}{a}+\frac{1}{a}-2>0\) và
\(a+b+c-\sqrt{3(ab+ac+bc)}=\frac{(a-b)^2+(c-a)(c-b)}{a+b+c+\sqrt{3(ab+ac+bc)}}\geq0\)
BĐT đã được c/m. Vậy \(M_{Min}=\sqrt{3}-2\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
P/s: Nhìn qua thấy ngon mà làm mới thấy thật sự là "choáng"