Cho các số dương a,b,c. CMR: \(T=\frac{a}{3a+b+c}+\frac{b}{3b+a+c}+\frac{c}{3c+a+b}\le\frac{3}{2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TN
1 tháng 11 2016
Đặt \(\hept{\begin{cases}x=3a+b+c\\y=3b+a+c\\z=3c+a+b\end{cases}\left(x;y;z>0\right)}\)
\(\Rightarrow x+y+z=5a+5b+5c=5\left(a+b+c\right)\)
Lại có: \(a+b+c=x-2a=y-2b=z-2c\)
\(\Rightarrow x+y+z=5\left(x-2a\right)=5\left(y-2b\right)=5\left(z-2c\right)\)
\(\Rightarrow4x-\left(y+z\right)=4\left(3a+b+c\right)-\left(4b+4c+2a\right)=10a\)
Tương tự ta có:\(4y-\left(x+z\right)=10b;4z-\left(x+y\right)=10c\)
\(\Rightarrow10T=\frac{4x-\left(y+z\right)}{x}+\frac{4y-\left(x+z\right)}{y}+\frac{4z-\left(x+y\right)}{z}\)
\(=12-\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}\)
\(=12-\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}\right)\)\(\le12-6=6\)(Bđt Cô si)
\(\Rightarrow10T\le6\Rightarrow T\le\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\)(Đpcm)
Dấu = khi a=b=c
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 5 2019
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{a}{3a+b+c}=\frac{a}{\frac{a+b+c}{3}+\frac{a+b+c}{3}+\frac{a+b+c}{3}+a+a}\leq \frac{a}{25}\left(\frac{1}{\frac{a+b+c}{3}}+\frac{1}{\frac{a+b+c}{3}}+\frac{1}{\frac{a+b+c}{3}}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}\right)\)
hay \(\frac{a}{3a+b+c}\leq \frac{9a}{25(a+b+c)}+\frac{2}{25}\)
Hoàn toàn TT: \(\frac{b}{a+3b+c}\leq \frac{9b}{25(a+b+c)}+\frac{2}{25}; \frac{c}{a+b+3c}\leq \frac{9c}{25(a+b+c)}+\frac{2}{25}\)
Cộng theo vế các BĐT trên
\(\Rightarrow T\leq \frac{9(a+b+c)}{25(a+b+c)}+\frac{6}{25}=\frac{3}{5}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
T
20 tháng 7 2019
Akai Haruma: em có một cách khác là chuẩn hóa, nhưng ko biết đúng không. Vì cô làm cách kia rồi nên em làm cách này, chứ em thích cách kia hơn.
BĐT trên là thuần nhất (đồng bậc) nên chuẩn hóa a + b + c = 3. Ta cần chứng minh:
\(\Sigma\frac{a}{2a+3}\le\frac{3}{5}\)
C1: Áp dụng BđT AM-GM \(\frac{a}{2a+3}=\frac{a}{a+a+1+1+1}\le\left(\frac{1}{25}+\frac{1}{25}+\frac{3a}{25}\right)\)
Tương tự hai BĐT còn lại và cộng theo vế ta thu được đpcm.
Cách 2: (ko hay + dài)
\(BĐT\Leftrightarrow\Sigma\left(\frac{a}{2a+3}-\frac{1}{5}\right)\le0\) \(\Leftrightarrow\Sigma\left(\frac{3\left(a-1\right)}{5\left(2a+3\right)}-\frac{3}{25}\left(a-1\right)\right)+\Sigma\frac{3}{25}\left(a-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\Sigma\left(a-1\right)\left(\frac{3}{5\left(2a+3\right)}-\frac{3}{25}\right)\le0\)\(\Leftrightarrow\Sigma\frac{-30\left(a-1\right)^2}{5.25\left(2a+3\right)}\le0\) (đúng)
Ta có đpcm
25 tháng 3 2020
Ta CM BĐT phụ sau: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
Ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{2}{\sqrt{ab}},a+b\ge2\sqrt{ab}\)( co si với a,b>0)
Suy ra \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(a+b\right)\ge4\RightarrowĐPCM\)\(\Rightarrow\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(1\right)\)
a/Áp dụng (1) có
\(\frac{1}{a+b+2c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\left(2\right)\).Tương tự ta cũng có:
\(\frac{1}{b+c+2a}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)\left(3\right),\frac{1}{c+a+2b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+b}\right)\left(4\right)\)
Cộng (2),(3) và (4) có \(VT\le\frac{1}{4}.\left(6+6\right)=3\left(ĐPCM\right)\)
b/Áp dụng (1) có:
\(\frac{1}{3a+3b+2c}=\frac{1}{\left(a+b+2c\right)+2\left(a+b\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b+2c}+\frac{1}{2\left(a+b\right)}\right)\left(5\right)\)
Tương tự có: \(\frac{1}{3a+2b+3c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+c+2b}+\frac{1}{2\left(a+c\right)}\right)\left(6\right)\)
\(\frac{1}{2a+3b+3c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{2\left(b+c\right)}\right)\left(7\right)\)
Cộng (5),(6) và (7) có:
\(VT\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b+2c}+\frac{1}{a+c+2b}+\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\right)\right)\le\frac{1}{4}.9=\frac{3}{2}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 7 2020
\(\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{a+b+2c}\ge\frac{4}{2a+4b+2c}=\frac{2}{a+2b+c}\)
Tương tự: \(\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{2a+b+c}\ge\frac{2}{a+b+2c}\) ; \(\frac{1}{c+3a}+\frac{1}{a+2b+c}\ge\frac{2}{2a+b+c}\)
Cộng vế với vế ta có đpcm
23 tháng 9 2017
ta có:
\(\left(b-c\right)^2\ge0\Leftrightarrow b^2+4bc+4c^2\le3b^2+6c^2\Leftrightarrow\left(b+2c\right)^2\le3b^2+6c^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(b+2c\right)^2}{3b^2+6c^2}\le1\Leftrightarrow\frac{b+2c}{\sqrt{3b^2+6c^2}}\le1\Leftrightarrow\frac{a\left(b+2c\right)}{\sqrt{3b^2+6c^2}}\le a\)
cmtt =>\(\frac{a\left(b+2c\right)}{\sqrt{3b^2+6c^2}}+\frac{b\left(c+2a\right)}{\sqrt{3c^2+6a^2}}+\frac{c\left(a+2b\right)}{\sqrt{3a^2+6b^2}}\le a+b+c\left(Q.E.D\right)\)
dấu = xảy ra khi a=b=c
A
13 tháng 12 2017
Với a, b, c là các số dương, áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{b}{a+3b}+\frac{c}{b+3c}+\frac{a}{c+3a}=\frac{a+b+c}{a+3b+b+3c+c+3a}=\frac{a+b+c}{4a+4b+4c}=\frac{a+b+c}{4\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow\frac{b}{a+3b}+\frac{c}{b+3c}+\frac{a}{c+3a}\le\frac{3}{4}\)
LA
23 tháng 12 2017
Ta có: \(\frac{b}{a+3b}+\frac{c}{b+3c}+\frac{a}{c+3a}\le\frac{3}{4}\)(*)
\(\Leftrightarrow3ba+3b+\frac{3c}{b+3c}+\frac{3a}{c+3a}\le\frac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow1-3ba+3b+1-\frac{3c}{b+3c}+1-\frac{3a}{c+3a}\ge\frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{a+3b}+\frac{b}{b+3c}+\frac{c}{c+3a}\ge\frac{3}{4}\)
Áp dụng BĐT Cauchy - swarch có
\(\frac{a}{a+3b}+\frac{b}{b+3c}+\frac{c}{c+3a}=\frac{a^2}{a^2+3ab}+\frac{b^2}{b^2+3bc}+\frac{c^2}{c^2+3ac}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+3ab+3bc+3ca}\)
Ta sẽ chứng minh : \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+3ab+3bc+3ca}\ge\frac{3}{4}\left(1\right)\)
Từ (1) \(\Leftrightarrow4\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(a^2+b^2+c^2+3ab+3bc+3ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)(đúng)
Vậy (*) đúng
TN
10 tháng 9 2017
Sang học 24 tìm ai tên Perfect Blue nhé t làm bên đó rồi đưa link thì lỗi ==" , tìm tên đăng nhập springtime ấy
TN
16 tháng 8 2019
A=\(\frac{a}{3a+b+c}+\frac{b}{3b+a+c}+\frac{c}{3c+a+b}\)
=>\(\frac{3}{2}\)-A=\(\frac{1}{2}-\frac{a}{3a+b+c}+\frac{1}{2}-\frac{b}{3b+a+c}+\frac{1}{2}-\frac{c}{3c+a+b}\)
<=>\(\frac{3}{2}\)-A=\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{6a+2b+2c}+\frac{1}{6b+2a+2c}+\frac{1}{6c+2a+2b}\right)\)
ta lại có
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{6a+2b+2c}+\frac{1}{6b+2a+2c}+\frac{1}{6c+2a+2b}\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(\frac{\left(1+1+1\right)^2}{6a+2b+2c+6b+2a+2c+6c+2a+2b}\right)=\frac{9}{10}\)<=>\(\frac{3}{2}-\)A\(\ge\frac{9}{10}\)<=>A\(\le\frac{3}{2}-\frac{9}{10}=\frac{3}{5}\)
dấu "=" xảy ra <=>a=b=c
AH
Akai Haruma
Giáo viên
16 tháng 7 2020
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{a}{3a+b+c}=\frac{2a}{6a+2b+2c}=\frac{2a}{(a+b)+(a+c)+(a+b)+(a+c)+2a}\leq \frac{2a}{25}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{2a}\right)\)
\(=\frac{4}{25}(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c})+\frac{1}{25}\)
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế ta có:
\(\sum \frac{a}{3a+b+c}\leq \frac{4}{25}(\frac{a+b}{a+b}+\frac{a+c}{a+c}+\frac{b+c}{b+c})+\frac{3}{25}=\frac{12}{25}+\frac{3}{25}=\frac{3}{5}\)
(đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 7 2020
\(VT=\sum\frac{a}{2a+a+b+c}\le\frac{1}{25}\sum\left(\frac{4a}{2a}+\frac{9a}{a+b+c}\right)=\frac{1}{25}\left(6+\frac{9\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\right)=\frac{3}{5}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)