Question

[Lebenslehre]

Chuyên mục: BĐT Toán học #6

Ai trả lời đúng + chính xác sẽ được 5GP.

Question: Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn điều kiện \(x+y+x\ge12\).Tìm GTNN của biểu thức:
\(C=\dfrac{x}{\sqrt{y}}+\dfrac{y}{\sqrt{z}}+\dfrac{z}{\sqrt{x}}\)

_#Part 5 do sai sót của tớ nên 3 GP vẫn trao cho người tìm được nguồn trên mạng anh Nguyễn Huy Thắng nha.

_Dù em biết anh không cần nhưng em sẽ vẫn gửi 3 GP cho acc @Lightning Farron.

_Quiz này #5 GP nhé, với cả tớ post buổi tối cho mọi người cùng làm nha.

#Don't_try_so_hard

#The_best_things_come_when_you_least_expect_them_to

#GudLuck

Answer 1

[Shurima Azir]

Lỗi đề rồi

Answer 2

[Shurima Azir]

\(\dfrac{C}{2}=\dfrac{x}{\sqrt{4y}}+\dfrac{y}{\sqrt{4z}}+\dfrac{z}{\sqrt{4x}}\ge\dfrac{2x}{y+4}+\dfrac{2y}{z+4}+\dfrac{2z}{x+4}\)

\(\Rightarrow\dfrac{C}{4}\ge\dfrac{x}{y+4}+\dfrac{y}{z+4}+\dfrac{z}{x+4}=\dfrac{x^2}{xy+4x}+\dfrac{y^2}{yz+4y}+\dfrac{z^2}{zx+4z}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(xy+yz+zx\right)+4\left(x+y+z\right)}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+4\left(x+y+z\right)}=\dfrac{3\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)\left(x+y+z+12\right)}=\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{x+y+z+12}\ge\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{x+y+z+x+y+z}=\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{3}{2}\)

\(\Rightarrow C\ge6\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 4