Question

[Lebenslehre]

Chuyên mục: BĐT Toán học #1

Ai trả lời đúng + chính xác sẽ được 3 GP.

Question: Cho a,b,c >0 thỏa mãn \(ab+bc+ac\ge6\) . Tìm GTNN của biểu thức :

\(P=\dfrac{2a^3+3b^3}{a+4b}+\dfrac{2b^3+3c^3}{b+4c}+\dfrac{2c^3+3a^3}{c+4a}\)

_Xin phép các CTV, tớ để nó ở CHH cho các bạn cùng thử sức, xem như một cách vực dậy box Toán :>

_Có nhiều cách nên các bạn làm sau chính xác vẫn được phần thưởng nhé.

#GudLuck#

Answer 1

[Hung nguyen]

Không biết làm

Answer 2

[Unruly Kid]

\(P=\sum\dfrac{2a^3}{a+4b}+\sum\dfrac{3b^3}{a+4b}=2\sum\dfrac{a^4}{a^2+4ab}+3\sum\dfrac{b^4}{ba+4b^2}\)

Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel, ta có:

\(P\ge2\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2+b^2+c^2+4\left(ab+bc+ca\right)}+3\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca+4\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)

\(P\ge2\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2+b^2+c^2+4\left(a^2+b^2+c^2\right)}+3\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2+b^2+c^2+4\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\dfrac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{5}+\dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{5}\)

\(P\ge a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\ge6\)

GTNN của P là 6 khi \(a=b=c=\sqrt{2}\)