cho x,y,z>0 và x+y+z=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của bt S=\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{9}{y}+\dfrac{16}{z}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
8 tháng 12 2023
Ta có \(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+2}+\dfrac{1}{z+3}\ge\dfrac{9}{x+y+z+6}\), do đó:
\(\dfrac{9}{x+y+z+6}\le1\)
\(\Leftrightarrow x+y+z\ge3\)
Đặt \(x+y+z=t\left(t\ge3\right)\). Khi đó \(P=t+\dfrac{1}{t}\)
\(P=\dfrac{t}{9}+\dfrac{1}{t}+\dfrac{8}{9}t\)
\(\ge2\sqrt{\dfrac{t}{9}.\dfrac{1}{t}}+\dfrac{8}{9}.3\)
\(=\dfrac{2}{3}+\dfrac{24}{9}\)
\(=\dfrac{10}{3}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}t=x+y+z=3\\x+1=y+2=z+3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left(x,y,z\right)=\left(2,1,0\right)\)
Vậy \(min_P=\dfrac{10}{3}\Leftrightarrow\left(x,y,z\right)=\left(2,1,0\right)\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
15 tháng 4 2021
\(A=\dfrac{2x^2}{2x+2yz}+\dfrac{2y^2}{2y+2zx}+\dfrac{2z^2}{2z+2xy}+\dfrac{9}{8\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)
\(A\ge\dfrac{2x^2}{x^2+1+y^2+z^2}+\dfrac{2y^2}{y^2+1+z^2+x^2}+\dfrac{2z^2}{z^2+1+x^2+y^2}+\dfrac{9}{8\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)
\(A\ge\dfrac{2\left(x^2+y^2+z^2\right)}{x^2+y^2+z^2+1}+\dfrac{9}{8\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)
Đặt \(x^2+y^2+z^2=a>0\)
\(\Rightarrow A\ge\dfrac{2a}{a+1}+\dfrac{9}{8a}=\dfrac{2a}{a+1}+\dfrac{9}{8a}-\dfrac{15}{8}+\dfrac{15}{8}\)
\(\Rightarrow A\ge\dfrac{\left(a-3\right)^2}{8a\left(a+1\right)}+\dfrac{15}{8}\ge\dfrac{15}{8}\)
\(A_{min}=\dfrac{15}{8}\) khi \(a=3\) hay \(x=y=z=1\)
MD
13 tháng 10 2017
Chừ ms onl nên ko bt
Ta có: \(X=\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\left(1+\dfrac{1}{y}\right)\left(1+\dfrac{1}{z}\right)\)
\(=1+\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)+\left(\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}+\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{xyz}\right)\)
\(\ge1+\dfrac{9}{x+y+z}+\left(\dfrac{x+y+z}{xyz}+\dfrac{1}{xyz}\right)\)
\(=10+\dfrac{2}{xyz}\) ( Do \(x+y+z=1\) )
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\left(\dfrac{x+y+z}{3}\right)^3\ge xyz\) \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{xyz}\ge27\)
\(\Rightarrow X\ge10+27.2=64\)
\(\Rightarrow\) Dấu ''='' xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
24 tháng 10 2017
Mỹ Duyên : cho hỏi chút : sao biết \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{9}{x+y+z}\)
mà có được \(1+\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)+\left(\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}+\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{xyz}\right)\ge1+\dfrac{9}{x+y+x}+\left(\dfrac{x+y+z}{xyz}+\dfrac{1}{xyz}\right)\)
AT
7 tháng 2 2018
Toán lớp 6? -_-
\(P=\dfrac{1}{x^2+y^2+z^2}+\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}\)
*Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
\(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}\ge\dfrac{9}{xy+yz+zx}\)
\(P\ge\dfrac{1}{x^2+y^2+z^2}+\dfrac{9}{xy+yz+xz}=\dfrac{1}{x^2+y^2+z^2}+\dfrac{4}{2\left(xy+yz+zx\right)}+\dfrac{7}{xy+yz+zx}\)
*Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:
\(\dfrac{1}{x^2+y^2+z^2}+\dfrac{4}{2\left(xy+yz+zx\right)}\ge\dfrac{\left(1+2\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}\)
và \(\dfrac{7}{xy+yz+xz}\ge\dfrac{7}{\dfrac{1}{3}\left(x+y+z\right)}=21\)
\(\Rightarrow P\ge9+21=30\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
PL
3
21 tháng 2 2018
Áp dụng bđt Svác - sơ ta có :
\(P=\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{x+z}+\dfrac{z}{x+y}=\dfrac{x^2}{xy+xz}+\dfrac{y^2}{xy+yz}+\dfrac{z^2}{xz+yz}\)
\(\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2.\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}=\dfrac{3}{2}\) có GTNN là \(\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)
18 tháng 12 2017
Áp dụng bđt Bunhiacopxki ta có :
\(A=\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{y}+\dfrac{9}{z}\right)\ge\left(\sqrt{x}.\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{y}.\dfrac{2}{\sqrt{y}}+\sqrt{z}.\dfrac{3}{\sqrt{z}}\right)^2\)
\(\left(1+2+3\right)^2=36\)
UK
18 tháng 12 2017
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel
\(A\ge\dfrac{\left(1+2+3\right)^2}{x+y+z}=36\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=\dfrac{1}{6};y=\dfrac{1}{3};z=\dfrac{1}{2}\)
Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{x}+\frac{9}{y}+\frac{16}{z}\ge\frac{\left(1+3+4\right)^2}{x+y+z}=64\)
Dấu "=" xảy ra khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{x}=\frac{3}{y}=\frac{4}{z}\\x+y+z=1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{1}{8}\\y=\frac{3}{8}\\z=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)