Question

[Thành Trương]

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số thực khác không x, y ta có:

\({x^2\over y^2} + {y^2\over x^2} + 4 ≥ 3({x\over y} + {y\over x})\)

Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số thực x,y ta có:

\(xy(x-2)(y+6)+12x^2-24x+3y^2+18y+36>0\)

Bài 3: Cho x,y,z thuộc R. Chứng minh rằng:

\(1019x^2+18y^4+1007z^2\geq 30xy^2+6y^2z+2008zx\)

Bài 4: Cho a,b>=4. Chứng minh rằng: \(a^2+b^2+ab>=6(a+b)\)

Bài 5:Cho x,y>=1. Chứng minh rằng: \(x\sqrt {y-1}+y \sqrt {x-1} \leq xy\)

Bài 6: Cho x,y>=1. Chứng minh rằng: \({1\over 1+x^2}+{1\over 1+y^2}\geq {2\over 1+xy}\)

Bài 7: Chứng minh rằng với mọi số thực a,b ta có:

\(2(a^4+b^4)\geq ab^3+a^3b+2a^2b^2\)

Bài 8: Cho hai số thực x,y khác không. Chứng minh rằng:

\({4x^2y^2\over (x^2+y^2)^2}+{x^2\over y^2}+{y^2\over x^2}\geq 3\)

Bài 9: Cho các số thực a,b cùng dấu. Chứng minh bất đẳng thức:

\(({(a^2+b^2)\over 2})^3\leq({(a^3+b^3)\over 2})^2\)

Bài 10: Cho các số thực dương a,b. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

\({a^2b\over(2a^3+b^3)}+{2\over 3} \leq {(a^2+2ab)\over (2a^2+b^2)}\)

Bài 11: Cho các số thực a,b không đồng thời bằng 0. Chứng minh:

\({2ab\over (a^2+4b^2)}+{b^2\over (3a^2+2b^2)}\leq {3\over 5}\)

@Akai Haruma

Answer 1

[Phùng Khánh Linh]

Bài 1. Áp dụng BĐT : ( x - y)² ≥ 0 ∀xy

⇒ x² + y² ≥ 2xy

⇔ \(\dfrac{x^2}{xy}+\dfrac{y^2}{xy}\) ≥ 2

⇔ \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\) ≥ 2

⇒ 3( \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\)) ≥ 6 ( 1)

CMTT : \(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}\) ≥ 2

⇒ \(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+4\) ≥ \(6\) ( 2)

Từ ( 1 ; 2) ⇒ \(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+4\) ≥ 3( \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\))

Đẳng thức xảy ra khi : x = y

Answer 2

[Phùng Khánh Linh]

Bài 4. Do : a ≥ 4 ; b ≥ 4 ⇒ ab ≥ 16 ( * ) ; a + b ≥ 8 ( ** )

Áp dụng BĐT Cauchy , ta có : a² + b² ≥ 2ab = 2.16 = 32 ( *** )

Từ ( * ; *** ) ⇒ a² + b² + ab ≥ 16 + 32 = 48 ( 1 )

Từ ( ** ) ⇒ 6( a + b) ≥ 48 ( 2)

Từ ( 1 ; 2 ) ⇒a² + b² + ab ≥ 6( a + b)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = 4