Question

[༺ ๖ۣۜPhạm ✌Tuấn ✌Kiệτ ༻]

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn ab + bc + ca = 3. CMR :

\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\ge\frac{3}{2}\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Ta sử dụng bổ đề sau:

Bổ đề:Nếu \(a,b>0, ab\geq 1\) thì: \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\geq \frac{2}{ab+1}(*)\)

Chứng minh:

Thực hiện biến đổi tương đương:

\((*)\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2+2}{(a^2+1)(b^2+1)}\geq \frac{2}{ab+1}\)

\(\Leftrightarrow (ab+1)(a^2+b^2+2)\geq 2(a^2b^2+a^2+b^2+1)\)

\(\Leftrightarrow ab(a^2+b^2+2)\geq 2a^2b^2+a^2+b^2\)

\(\Leftrightarrow ab(a^2+b^2-2ab)-(a^2+b^2-2ab)\geq 0\)

\(\Leftrightarrow (a-b)^2(ab-1)\geq 0\) (luôn đúng với mọi \(ab\geq 1\) )

Bổ đề đc chứng minh.

Quay trở lại bải toán ban đầu:

Không mất tổng quát giả sử \(c=\min (a,b,c)\)

Khi đó: \(ab=\max (ab,bc,ac)\Rightarrow ab\geq 1\)

Áp dụng bổ đề đã nêu:

\(\text{VT}=\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\geq \frac{2}{ab+1}+\frac{1}{c^2+1}\)

\(\Leftrightarrow \text{VT}\geq \frac{2c^2+ab+3}{abc^2+ab+c^2+1}\)

Ta thấy :

\(\frac{2c^2+ab+3}{abc^2+ab+c^2+1}-\frac{3}{2}=\frac{c^2+3-ab-3abc^2}{2(abc^2+ab+c^2+1)}=\frac{c^2+bc+ac-3abc^2}{2(abc^2+ab+c^2+3)}=\frac{c(a+b+c-3abc)}{2(abc^2+ab+c^2+1)}\)

Áp dụng BĐT AM_GM:

\((a+b+c)(ab+bc+ac)\geq 3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=9abc\)

\(\Rightarrow 3(a+b+c)\geq 9abc\Rightarrow a+b+c\geq 3abc\)

\(\Rightarrow \frac{2c^2+ab+3}{abc^2+ab+c^2+1}-\frac{3}{2}=\frac{c(a+b+c-3abc)}{2(abc^2+ab+c^2+1)}\geq 0\)

\(\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{2c^2+ab+3}{abc^2+ab+c^2+1}\geq \frac{3}{2}\)

Ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Answer 2

[Đạt Trần Tiến]

Áp dụng BĐT Swarchz ta có

\(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}\ge\frac{(1+1+1)^2}{1+1+1+ab+bc+ac}=\frac{9}{6} =\frac{3}{2}\)(đpcm)