Tìm giá trị của a để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
\(\left\{{}\begin{matrix}y^2=x^3-4x^2+ax\\x^2=y^3-4y^2+ay\end{matrix}\right.\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
VD
11 tháng 1 2021
Từ pt (1) ta có: y=ax-2 thế vào pt (2) ta được:
\(x+a\left(ax-2\right)=3\)
\(\Leftrightarrow x+a^2x-2a=3\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+1\right)x=2a+3\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{2a+3}{a^2+1}\) (Vì \(a^2+1\ne0\))
\(\Rightarrow y=a\cdot\dfrac{2a+3}{a^2+1}-2=\dfrac{3a-2}{a^2+1}\)
Vậy với mọi a hệ có nghiệm duy nhất là \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{2a+3}{a^2+1};\dfrac{3a-2}{a^2+1}\right)\)
9 tháng 1
1: Thay x=1 và y=0 vào hệ phương trình, ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}1+a\cdot0=1\\a\cdot1+0=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1=1\left(đúng\right)\\a=2\end{matrix}\right.\)
=>a=2
2: Để hệ có nghiệm duy nhất thì \(\dfrac{1}{a}\ne\dfrac{a}{1}\)
=>\(a^2\ne1\)
=>\(a\notin\left\{1;-1\right\}\)
13 tháng 2 2023
a. Theo bài ra ta có: \(x^2+x-2=0\)
\(\left[{}\begin{matrix}x=-2\\x=1\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=-\left(-2\right)+2=4\\y=-1+2=1\end{matrix}\right.\)
Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là: \(\left(-2;4\right)\); \(\left(1:1\right)\)
b. Thay x = 2 ; y = -1 vào hpt ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}8-a=b\\2+b=a\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-a-b=-8\\-a+b=-2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=5\\b=3\end{matrix}\right.\)
31 tháng 1
a: Thay m=1 vào hệ phương trình, ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}x-y=1\\2x+y=4\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}3x=5\\x-y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{5}{3}\\y=x-1=\dfrac{5}{3}-1=\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\)
b: Để hệ có nghiệm duy nhất thì \(\dfrac{m}{2}\ne-\dfrac{1}{m}\)
=>\(m^2\ne-2\)(luôn đúng)
\(\left\{{}\begin{matrix}mx-y=1\\2x+my=4\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=mx-1\\2x+m\left(mx-1\right)=4\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=mx-1\\x\left(m^2+2\right)=m+4\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{m+4}{m^2+2}\\y=\dfrac{m\left(m+4\right)}{m^2+2}-1=\dfrac{m^2+4m-m^2-2}{m^2+2}=\dfrac{4m-2}{m^2+2}\end{matrix}\right.\)
x+y=2
=>\(\dfrac{m+4+4m-2}{m^2+2}=2\)
=>\(2m^2+4=5m+2\)
=>\(2m^2-5m+2=0\)
=>(2m-1)(m-2)=0
=>\(\left[{}\begin{matrix}2m-1=0\\m-2=0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{1}{2}\\m=2\end{matrix}\right.\)
Lời giải:
Dễ thấy hệ có bộ nghiệm \((x,y)=(0;0)\)
Ta cần tìm $a$ sao cho hpt không còn nghiệm nào ngoài $(0;0)$
Trừ 2 PT cho nhau:
\(y^2-x^2=(x^3-y^3)-4(x^2-y^2)+a(x-y)\)
\(\Leftrightarrow (x-y)(x^2+xy+y^2)-4(x-y)(x+y)+a(x-y)+(x-y)(x+y)=0\)
\(\Leftrightarrow (x-y)(x^2+xy+y^2-3x-3y+a)=0\)
Ta thấy TH \(x-y=0\) đã thỏa mãn bộ nghiệm \(x=y=0\), nên để hpt không có nghiệm nào khác \((0;0)\)
thì pt \(x^2+xy+y^2-3x-3y+a=0(*)\) phải vô nghiệm hoặc có chỉ có nghiệm \(x=y=0\)
+) \((*)\) vô nghiệm:
\(\Leftrightarrow \Delta< 0\)
\(\Leftrightarrow (y-3)^2-4(y^2-3y+a)< 0\)
\(\Leftrightarrow 4a> -3y^2+6y+9\) với mọi y
\(\Leftrightarrow 4a> \max(-3y^2+6y+9)\)
\(\Leftrightarrow 4a> \max [12-3(y-1)^2]\)\(\Leftrightarrow 4a>12\Leftrightarrow a>3\)
+) \((*)\) có nghiệm \(x=y=0\Rightarrow a=0\)
\((*)\) trở thành \(x^2+xy+y^2-3(x+y)=0\)
Thay \(x=0\) vào ta thấy pt còn nghiệm \(y=3\) (không thỏa mãn tính duy nhất) (loại)
Vậy \(a>3\) thỏa mãn. (1)
--------------------------------------------
Giờ ta quay lại TH $x=y$ để kiểm tra lại
Thay vào pt đầu tiên: \(x^2=x^3-4x^2+ax\Leftrightarrow x^3-5x^2+ax=0\)
\(\Leftrightarrow x(x^2-5x+a)=0\)
Để pt có nghiệm duy nhất \(x=0\) thì $x^2-5x+a=0$ vô nghiệm hoặc chỉ có nghiệm là $0$
TH chỉ có nghiệm là $0$ kéo theo \(a=0\Rightarrow x^2-5x=0\) còn có nghiệm $x=5$ (vô lý)
TH vô nghiệm \(\Rightarrow \Delta=25-4a <0\Leftrightarrow a> \frac{25}{4}\) (2)
Từ (1),(2) suy ra \(a>\frac{25}{4}\)