Cho x,y >0 và x+y=2
CMR \(x^ny^n(x^n+y^n)\le 2\)
@Ace Legona giúp mình nha 
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
2 tháng 10 2019
Đề bài sai bạn: ví dụ cho \(y=z=0\); \(x=4\) thì \(\frac{4}{6}\le\frac{1}{3}\) (vô lý)
10 tháng 7 2016
1) Ta có: \(x^3+y^3+z^3=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)\)+ \(3xyz\)
Mà x+y+z=0
=> \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)
( ko thể = 3xy2)
2) Ta có: \(A=\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)+1\)
= \(\left(n+1\right)\left(n+4\right)\cdot\left(n+2\right)\left(n+3\right)+1\)
= \(\left(n^2+5n+4\right)\left(n^2+5n+6\right)+1\)
Đặt t= \(n^2+5n+5\)
=> A= \(\left(t-1\right)\left(t+1\right)+1=t^2-1+1=t^2\) là 1 số chính phương.
24 tháng 5 2017
Mk muốn làm giúp bạn lắm chứ nhưng mà khổ lỗi mk mới học lớp 6 . Xin lỗi bn
HP
24 tháng 5 2017
bài 2 gợi ý từ hdt (x+y+z)^3=x^3+y^3+z^3+3(x+y)(y+z)(z+x)
VT (ở đề bài) = a+b+c
<=>....<=>3[căn bậc 3(a)+căn bậc 3(b)].[căn bậc 3(b)+căn bậc 3(c)].[căn bậc 3(c)+căn bậc 3 (a)]=0
từ đây rút a=-b,b=-c,c=-a đến đây tự giải quyết đc r
AH
Akai Haruma
Giáo viên
25 tháng 1 2018
Lời giải:
Ta có:
\(\text{VT}=\frac{1}{x^2+y^2+2}+\frac{1}{y^2+z^2+2}+\frac{1}{z^2+x^2+2}\)
\(\Rightarrow 2\text{VT}=\frac{2}{x^2+y^2+2}+\frac{2}{y^2+z^2+2}+\frac{2}{z^2+x^2+2}\)
\(2\text{VT}=1-\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2+2}+1-\frac{y^2+z^2}{y^2+z^2+2}+1-\frac{z^2+x^2}{z^2+x^2+2}\)
\(2\text{VT}=3-\left(\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2+2}+\frac{y^2+z^2}{y^2+z^2+2}+\frac{z^2+x^2}{z^2+x^2+2}\right)=3-A\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(A\geq \frac{(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2})^2}{2(x^2+y^2+z^2)+6}=\frac{(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2})^2}{2(x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz)}(*)\)
Xét tử số:
\((\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2})^2\)
\(=2(x^2+y^2+z^2)+2(\sqrt{(x^2+y^2)(x^2+z^2)}+\sqrt{(x^2+y^2)(y^2+z^2)}+\sqrt{(y^2+z^2)(z^2+x^2)})\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\sqrt{(x^2+y^2)(x^2+z^2)}\geq \sqrt{(x^2+yz)^2}=x^2+yz\)
\(\sqrt{(x^2+y^2)(y^2+z^2)}\geq \sqrt{(xz+y^2)^2}=xz+y^2\)
\(\sqrt{(y^2+z^2)(z^2+x^2)}\geq \sqrt{(z^2+xy)^2}=z^2+xy\)
\(\Rightarrow \sum \sqrt{(x^2+y^2)(x^2+z^2)}\geq x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz\)
\(\Rightarrow (\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2})^2\geq 4(x^2+y^2+z^2)+2(xy+yz+xz)\)
\(\geq 3(x^2+y^2+z^2)+3(xy+yz+xz)=3(x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz)\)
(theo BĐT AM-GM)
Do đó: Từ \((*)\Rightarrow A\geq \frac{3(x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz)}{2(x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz)}=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow 2\text{VT}\leq 3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow \text{VT}\leq \frac{3}{4}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=1\)
26 tháng 1 2018
We have: \(\dfrac{1}{x^2+y^2+2}=\dfrac{1}{x^2+y^2+z^2+2-z^2}\le\dfrac{1}{5-z^2}\)
Similarly and by adding them:
\(\dfrac{1}{5-x^2}+\dfrac{1}{5-y^2}+\dfrac{1}{5-z^2}\le\dfrac{3}{4}\left(\circledast\right)\)
We know that \(\dfrac{1}{5-x^2}\le\dfrac{3\left(x^2+x\right)}{8\left(x^2+x+1\right)}\)
\(\Leftrightarrow-\dfrac{\left(x-1\right)^2\left(3x^2+9x+8\right)}{8\left(x^2-5\right)\left(x^2+x+1\right)}\le0\) It's obviously
\(\Rightarrow L.H.S_{\left(\circledast\right)}\le\dfrac{3}{8}\left(\dfrac{x^2+x}{x^2+x+1}+\dfrac{y^2+y}{y^2+y+1}+\dfrac{z^2+z}{z^2+z+1}\right)\le\dfrac{3}{4}\)
The equality occur when \(x=y=z=1\)
Done!
17 tháng 8 2019
\(VT=\sum\frac{2}{x^2+y^2}=\sum\frac{x^2+y^2+z^2}{x^2+y^2}=\sum\left(1+\frac{z^2}{x^2+y^2}\right)\ge\sum\left(1+\frac{z^2}{2xy}\right)=3+\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}\)
Vậy đẳng thức đã được chứng minh . Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{\frac{3}{2}}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
26 tháng 1 2021
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\sqrt{\frac{xy}{xy+z}}=\sqrt{\frac{xy}{xy+z(x+y+z)}}=\sqrt{\frac{xy}{(z+x)(z+y)}}\leq \frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+z}+\frac{y}{z+y}\right)\)
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại suy ra:
\(\sum \sqrt{\frac{xy}{xy+z}}\leq \frac{1}{2}\left(\frac{x+z}{x+z}+\frac{y+z}{y+z}+\frac{x+y}{x+y}\right)=\frac{3}{2}\)
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$