Question

[Huỳnh Phước Mạnh]

Giúp mình làm bài này nhé!

Cho biểu thức A = \(\dfrac{a^3+2a^2-1}{a^3+2a^2+2a+1}\)

a) Rút gọn biểu thức.

b) CM: nếu a là số nguyên, thì giá trị của biểu thức tìm được của câu a là một phân số tối giản.

Có kết quả và các bước cụ thể giùm mình nha! Cảm ơn các bạn nhiều!

Answer 1

[Nguyễn Thanh Hằng]

a) Ta có :

\(A=\dfrac{a^3+2a^2-1}{a^3+2a^2+2a+1}=\dfrac{\left(a+1\right)\left(a^2+a-1\right)}{\left(a+1\right)\left(a^2+a+1\right)}=\dfrac{a^2+a-1}{a^2+a+1}\)

b) Gọi \(d=ƯCLN\left(a^2+a-1;a^2+a+1\right)\)\(\)(\(a\in Z;d\in N\))

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2+a-1⋮d\\a^2+a+1⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2⋮d\)

Vì \(d\in N;2⋮d\Rightarrow d\in\left\{1;2\right\}\) \(\left(1\right)\)

Lại có :

- Nếu a là số lẻ thì \(a^2+a+1;a^2+a-1\) là số lẻ

- Nếu a là số chẵn thì \(a^2+a+1;a^2+a-1\) là số lẻ

\(\Rightarrow\) \(a^2+a+1;a^2+a-1\) là số lẻ với mọi a hay 2 số này ko có ước chẵn\(\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)+\left(2\right)\Rightarrow d=1\)

\(\RightarrowƯCLN\left(a^2+a+1;a^2+a-1\right)=1\)

\(\Rightarrow\) Phân số \(\dfrac{a^2+a-1}{a^2+a+1}\) nguyên tố cùng nhau với mọi a