Cho hình bình hành ABCD, các đường chéo cắt nhau ở O. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là giao điểm của các đường phân giác của các tam giác AOB, BOC, COD, DOA.
Chứng minh rằng EFGH là hình thoi ?
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CM
7 tháng 10 2018
Ta có: ∠ (AOB) = ∠ (COD) (đối đỉnh)
∠ (EOB ) = 1/2 ∠ (AOB) (gt)
∠ (COG) = 1/2 ∠ (COD) (gt)
Suy ra: ∠ (EOB ) = ∠ (COG)
∠ (EOB) + ∠ (BOC) + ∠ (COG) = 2 ∠ (EOB) + ∠ (BOC)
Mà ∠ (AOB ) + ∠ (BOC) = 180 0 ( kề bù).Hay 2 ∠ (EOB) + ∠ (BOC ) = 180 0
Suy ra: E,O,G thẳng hàng
Ta lại có: ∠ (BOC) = ∠ (AOD ) ( đối đỉnh)
∠ (HOD) = 1/2 ∠ (AOD) (gt)
∠ (FOC) = 1/2 ∠ (BOC) (gt)
Suy ra: ∠ (HOD) = ∠ (FOC)
∠ (HOD) + ∠ (COD ) + ∠ (FOC) = 2 ∠ (HOD) + ∠ (COD)
Mà ∠ (AOD) + ∠ (COD) = 180 0 ( kề bù). Hay 2 ∠ (HOD) + ∠ (COD) = 180 0
Suy ra: H, O, F thẳng hàng
∠ (ADO) = ∠ (CBO) ( so le trong)
∠ (HDO) = ∠ (FBO) ( chứng minh trên)
OD = OB ( t/chất hình bình hành)
∠ (HOD) = ∠ (FOB ) ( đối đỉnh)
Do đó: ∆ BFO = ∆ DHO (g.c.g)
⇒ OF = OH
∠ (OAB) = ∠ (OCD) ( so le trong)
∠ (OAE) = 1/2 ∠ (OAB ) (gt)
∠ (OCG) = 1/2 ∠ (OCD) (gt)
Suy ra: ∠ (OAE) = ∠ (OCG)
Xét ∆ OAE và ∆ OCG,ta có :
∠ (OAE) = ∠ (OCG) ( chứng mình trên)
OA = OC ( t/chất hình bình hành)
∠ (EOA) = ∠ (GOC) ( đối đỉnh)
Do đó: ∆ OAE= ∆ OCG (g.c.g) ⇒ OE = OG
Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành ( vì có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)
OE ⊥ OF (tính chất tia phân giác của hai góc kề bù) hay EG ⊥ FH
Vậy tứ giác EFGH là hình thoi
Do đó \(\Delta BOF=\Delta DOH\left(g.c.g\right)\) suy ra \(OH=OF\)
Chứng minh tương tự, \(OE=OG\). Do đó EFGH là hình bình hành.
Ta lại có \(OH\perp OE\) (tia phân giác của hai góc kề bù). Do đó hình bình hành EFGH là hình thoi.
chưa có OH là p/g