Tìm số phức \(z\) thỏa mãn \(\left|z-\left(2+i\right)\right|=\sqrt{10}\) và \(z\overline{z}=25\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
7 tháng 4 2016
Điều kiện \(z\ne0;\left|z\right|\ne1\)
\(\Leftrightarrow\frac{\overline{z}\left(\left|z\right|-1\right)\left(1+iz\right)}{\left|z\right|^2-1}=i\Leftrightarrow\frac{\overline{z}\left(\left|z\right|-1\right)\left(1+iz\right)}{\left(\left|z\right|-1\right)\left(\left|z\right|+1\right)}\)
\(\Leftrightarrow\overline{z}\left(1+iz\right)=\left(\left|z\right|+1\right)i\)
\(\Leftrightarrow\overline{z}+i\left|z\right|^2=\left(\left|z\right|+1\right)i\) (*)
Giả sử \(z=x+yi,x,y\in R\), khi đó (*) trở thành :
\(x-yi+\left(x^2+y^2\right)i=\left(\sqrt{x^2+y^2}+1\right)i\)
\(\Leftrightarrow x+\left(x^2+y^2-\sqrt{x^2+y^2}-y-1\right)i=0\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}x=0\\x^2+y^2-\sqrt{x^2+y^2}-y-1=0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}x=0\\y^2-\left|y\right|-y-1=0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}x=0\\\begin{cases}y=-1\\y=1+\sqrt{2}\end{cases}\end{cases}\)
Nếu \(x=0,y=1+\sqrt{2}\) thì \(z=\left(1+\sqrt{2}\right)i\) thỏa mãn điều kiện
Nếu \(x=0,y=-1\) thì \(z=-i\) , khi đó \(\left|z\right|=1\) không thỏa mãn điều kiện
Vậy số phức cần tìm là \(z=\left(1+\sqrt{2}\right)i\)
PT
7 tháng 4 2016
Giả sử: \(z=x+yi (x;y\in |R)\)
Ta có: \(2(z+1)=3\overline{z}+i(5-i) \)
<=>\(2(x+yi+1)=3(x-yi)+i(5-i)\)
<=>\(2x+2yi+2=3x-3yi+5i-i^2\)
<=>\((3x-2x+1-2)+(5-3y-2y)i=0\)
<=>\((x-1)+(5-5y)i=0\)
<=>\(\begin{align} \begin{cases} x-1&=0\\ 5-5y&=0 \end{cases} \end{align}\)
<=>\(\begin{align} \begin{cases} x&=1\\ y&=1 \end{cases} \end{align}\)
Suy ra: z=1+i =>|z|=\(\sqrt{2}\)
7 tháng 4 2016
Đặt \(z=a+bi,\left(a,b\in R\right)\), khi đó :
\(2\left(z+1\right)=3\overline{z}+i\left(5-i\right)\Leftrightarrow2\left(a+bi+1\right)=3\left(a-bi\right)+1+5i\Leftrightarrow a-1+5\left(1-b\right)i=0\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}a=1\\b=1\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\left|z\right|=\sqrt{2}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
14 tháng 4 2022
\(z=x+yi\Rightarrow\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2=x^2+y^2\)
\(\Rightarrow x+y+1=0\Rightarrow\) tập hợp z là đường thẳng d: \(x+y+1=0\)
\(P=\left|\left(z-4-5i\right)-\left(w-3-4i\right)\right|\ge\left|\left|z-4-5i\right|-\left|w-3-4i\right|\right|=\left|\left|z-4-5i\right|-1\right|\)
Gọi M là điểm biểu diễn z và \(A\left(4;5\right)\Rightarrow\left|z-4-5i\right|=AM\)
\(AM_{min}=d\left(A;d\right)=\dfrac{\left|4+5+1\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=5\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow P\ge\left|5\sqrt{2}-1\right|=5\sqrt{2}-1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 4 2022
Mọi điểm M biểu diễn z đều phải thỏa mãn 2 điều kiện: vừa thuộc đường tròn (C) vừa thuộc đường thẳng \(\Delta\) (tham số P)
Do đó, M là giao điểm của (C) và \(\Delta\)
Hay tham số P phải thỏa mãn sao cho (C) và \(\Delta\) có ít nhất 1 điểm chung
Hay hệ pt nói trên có nghiệm (thật ra chi tiết đó là thừa, chỉ cần biện luận (C) và \(\Delta\) có ít nhất 1 điểm chung \(\Rightarrow d\left(I;\Delta\right)\le R\) là đủ)
Giải:
Đặt \(z=a+bi(a,b\in\mathbb{R})\)
Theo bài ra ta có:
\(\left\{\begin{matrix} |(a-2)+i(b-1)|=\sqrt{10}\\ z\overline{z}=|z|^2=a^2+b^2=25\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (a-2)^2+(b-1)^2=10\\ a^2+b^2=25\end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix} 2a+b=10\\ a^2+b^2=25\end{matrix}\right.\Rightarrow a^2+(10-2a)^2=25\rightarrow a=5\) hoặc \(a=3\)
\(\Rightarrow b=0;4\)
Vậy \(z\in \left \{5,3+4i\right\}\)