Question

[michelle holder]

tìm tất cả các số nguyên n sao cho tồn tại các số nguyên dương x,y,z thỏa \(x^3+y^3+z^3=nx^2y^2z^2\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Từ \(x^3+y^3+z^3=nx^2y^2z^2\Rightarrow n=\frac{x}{y^2z^2}+\frac{y}{x^2z^2}+\frac{z}{x^2y^2}\)

Gọi \(x=\max (x,y,z)\)

Ta thấy \(x^2|x^3+y^3+z^3\rightarrow x^2|y^3+z^3\rightarrow y^3+z^3\geq x^2\)

TH1: \(x>y^2z^2\)

\(\Rightarrow y^3+z^3>y^4z^4\Leftrightarrow y^3(1-\frac{yz^4}{2})+z^3(1-\frac{y^4z}{2})>0 \)

Nếu \(yz\geq 2\) thì điều trên hoàn toàn vô lý. Suy ra \(yz\leq 1\rightarrow y=z=1\)

\(\Rightarrow x^3+2=nx^2\rightarrow x^2|2\rightarrow x=1\), ta thu được \(n=3\)

TH2: \(x< y^2z^2\)

Khi đó \(n=\frac{x}{y^2z^2}+\frac{y}{x^2z^2}+\frac{z}{x^2y^2}\leq \frac{3x}{y^2z^2}<3\)

\(\Rightarrow n=1,2\)

Ta sẽ thử xem hai giá trị này có thỏa mãn không.

Với \(n=1\) \(\Rightarrow x^3+y^3+z^3=x^2y^2z^2\)

Cho \(z=1\Rightarrow x=3,y=2\) (biến đổi PT tích) thỏa mãn nên $n=1$ cũng thỏa mãn.

Với \(n=2\) \(\Rightarrow 2=\frac{x}{y^2z^2}+\frac{y}{x^2z^2}+\frac{z}{x^2y^2}<1+\frac{y}{x^2z^2}+\frac{z}{x^2y^2}\)

\(\Rightarrow y^3+z^3\geq x^2y^2z^2\geq y^3z^3\) do $x$ max

\(\Rightarrow (y^3-1)(z^3-1)\leq 1\) nên \((y^3-1)(z^3-1)=0,1\)

Dễ thấy \((y^3-1)(z^3-1)=1\) không thỏa mãn nên \((y^3-1)(z^3-1)=0\). nên tồn tại một số bằng $1$, giả sử là $y=1$

Bên trên vừa chỉ ra được \(y^3+z^3\geq x^2y^2z^2\Rightarrow z^3+1\geq x^2z^2\geq z^4\)

\(\Rightarrow 1\geq z^3(z-1)\rightarrow z=1\)

Thay vào PT ban đầu ta không thu được nghiệm $x$ thỏa mãn

Vậy \(n\in\left\{1,3\right\}\)

P/s: Bài này là 1 bài trong China TST 1987, nó là toán olympiad nên để trong box toán 9 không hợp lý

Trên mạng tất nhiên đã có lời giải cho bài toán này, nói chung là ý tưởng cũng xêm xêm nhau.

Đây là bài làm của mình từ năm lớp 10, ý tưởng hoàn toàn độc lập, coi như mình cũng chỉ "viết lại" thôi.

Answer 2

[Akai Haruma]

Chưa load được, từ cái "Do....." biến đổi kiểu gì mà suy ra

\(n^2x^4y^4<2nx^2y^2(x+y)+x^3+y^3\) thế?