Cho a , b , c là 3 cạnh của 1 tam giác và \(a+b+c=6\)
Chứng minh rằng : \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)+2abc\ge52\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HP
0
17 tháng 12 2017
Áp dụng BĐT tam giác, ta có:
\(\hept{\begin{cases}a< b+c\\b< c+a\\c< a+b\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2a< a+b+c\\2b< a+b+c\\2c< a+b+c\end{cases}}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2a< 6\\2b< 6\\2c< 6\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a< 3\\b< 3\\c< 3\end{cases}\Rightarrow}}\hept{\begin{cases}3-a>0\\3-b>0\\3-c>0\end{cases}}\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho bộ ba số thực không âm, ta có:
\(\left(3-a\right)\left(3-b\right)\left(3-c\right)\le\left(\frac{3-a+3-b+3-c}{3}\right)^3=1\)
\(\Leftrightarrow27-9\left(a+b+c\right)+3\left(ab+bc+ca\right)-abc\le1\)
\(\Leftrightarrow abc\ge27-9.6+3\left(ab+bc+ca\right)-1\)
\(\Leftrightarrow2abc\ge-56+6\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)+2abc\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)+3.2\left(ab+bc+ca\right)-56\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)+2abc\ge3\left(a+b+c\right)^2-56\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)+2abc\ge3.36-56=\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)+2abc\ge52\)
Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=c=2\)
Vậy \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)+2abc\ge52\)
T
5 tháng 2 2020
1/ BĐT \(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)+4abc\ge104=\frac{13}{27}\left(a+b+c\right)^3\)
Hay: \(27\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)+108abc\ge13\left(a+b+c\right)^3\)
\(VT-VP=2\left[6\left\{\Sigma_{cyc}a^3+3abc-\Sigma_{cyc}ab\left(a+b\right)\right\}+\left(a^3+b^3+c^3-3abc\right)\right]\ge0\)
(đúng theo BĐT Schur bậc 3 và Cô si cho 3 số dương)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 2
5 tháng 2 2020
tth_new trả lời nốt luôn đi
đkxđ : \(x,y,z\ge\frac{1}{4}\)
Ta có :
\(x-z=\sqrt{4z-1}-\sqrt{4x-1}=\frac{4\left(z-x\right)}{\sqrt{4z-1}+\sqrt{4x-1}}=-\frac{4\left(x-z\right)}{\sqrt{4z-1}+\sqrt{4x-1}}\)
\(\Rightarrow\left(x-z\right)\left(1+\frac{4}{\sqrt{4z-1}+\sqrt{4x-1}}\right)=0\)
Dễ thấy \(1+\frac{4}{\sqrt{4z-1}+\sqrt{4x-1}}>0\)nên x - z = 0 hay x = z
Tương tự : x = y
Suy ra : x = y = z
Thay vào đầu bài, ta có : \(2x=\sqrt{4x-1}\Rightarrow4x^2=4x-1\Rightarrow x=\frac{1}{2}\)
Vậy x = y = z = \(\frac{1}{2}\)
TC
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
11 tháng 2 2019
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM cho các số dương:
\((a+b-c)(b+c-a)\leq \left(\frac{a+b-c+b+c-a}{2}\right)^2=b^2\)
\((a+b-c)(c+a-b)\leq \left(\frac{a+b-c+c+a-b}{2}\right)^2=a^2\)
\((b+c-a)(c+a-b)\leq \left(\frac{b+c-a+c+a-b}{2}\right)^2=c^2\)
Nhân theo vế và rút gọn :
\(\Rightarrow (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc\)
\(\Leftrightarrow (6-2c)(6-2a)(6-2b)\leq abc\) (do $a+b+c=6$)
\(\Leftrightarrow 8[27-9(a+b+c)+3(ab+bc+ac)-abc]\leq abc\)
\(\Leftrightarrow 8(-27+3(ab+bc+ac)-abc)\leq abc\)
\(\Leftrightarrow abc\geq \frac{8}{3}(ab+bc+ac)-24\)
Do đó:
\(3(a^2+b^2+c^2)+2abc\geq 3(a^2+b^2+c^2)+\frac{16}{3}(ab+bc+ac)-48\)
\(=3(a+b+c)^2-\frac{2}{3}(ab+bc+ac)-48=60-\frac{2}{3}(ab+bc+ac)\)
Mà theo hệ quả của BĐT AM-GM \(ab+bc+ac\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=12\)
\(\Rightarrow 3(a^2+b^2+c^2)+2abc\geq 60-\frac{2}{3}.12=52\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=2$
7 tháng 8 2017
a/ Ta có:
\(\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)}\le\frac{a+b-c+b+c-a}{2}=b\left(1\right)\)
Tương tự ta có:
\(\hept{\begin{cases}\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(c+a-b\right)}\le a\left(2\right)\\\sqrt{\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)}\le c\left(3\right)\end{cases}}\)
Lấy (1), (2), (3) nhân vế theo vế ta được
\(\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\le abc\)
20 tháng 2 2018
do a,b,c là 3 cạnh của tam giác nên:
c<a+b => 2c<a+b+c => 2c<2 => c<1
Tương tự ta cm được a<1; b<1
vì a<1 => 1-a >0
b<1 => 1-b >0
c<1 => 1-c>0
=> (1-a)(1-b)(1-c) > 0
=> 1- (a+b+c) +ab+bc+ac-abc >0
=>ab+ac+bc-1>abc (a+b+c=0, chuyển vế đổi dấu)
=>2ab+2ac+2bc-2>2abc
Vậy a2+b2+c2+2abc < a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc-2= (a+b+c)2-2=4-2=2
Vậy => dpcm
4 tháng 8 2020
2) Ta có: Áp dụng bất đẳng thức:
\(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\) ta được:
\(\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\le\frac{\left(a+b-c+b+c-a\right)^2}{4}=\frac{4b^2}{4}=b^2\)
Tương tự chứng minh được:
\(\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\le c^2\)
\(\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\le a^2\)
Nhân vế 3 bất đẳng thức trên với nhau ta được:
\(\left[\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\right]^2\le\left(abc\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\le abc\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c\)
Áp dụng bất đẳng thức tam giác :
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}b+c>a\\c+a>b\\a+b>c\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}b+c+a>2a\\c+a+b>2b\\a+b+c>2c\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}6>2a\\6>2b\\6>2c\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}a< 3\\b< 3\\c< 3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}3-a>0\\3-b>0\\3-c>0\end{matrix}\right.\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 bộ số thực không âm
\(\Rightarrow\left(3-a\right)\left(3-b\right)\left(3-c\right)\le\left(\frac{3-a+3-b+3-c}{3}\right)^3\)
\(\Rightarrow\left(3-a\right)\left(3-b\right)\left(3-c\right)\le\left[\frac{9-\left(a+b+c\right)}{3}\right]^3\)
\(\Rightarrow\left(3-a\right)\left(3-b\right)\left(3-c\right)\le\left(\frac{9-6}{3}\right)^3\)
\(\Rightarrow\left(3-a\right)\left(3-b\right)\left(3-c\right)\le1\)
\(\Rightarrow\left[3\left(3-b\right)-a\left(3-b\right)\right]\left(3-c\right)\le1\)
\(\Rightarrow\left(9-3b-3a+ab\right)\left(3-c\right)\le1\)
\(\Rightarrow3\left(9-3b-3a+ab\right)-c\left(9-3b-3a+ab\right)\le1\)
\(\Rightarrow27-9b-9a+3ab-9c+3bc+3ac-abc\le1\)
\(\Rightarrow27-9b-9a-9c+3ab+3bc+3ac-abc\le1\)
\(\Rightarrow27-9\left(a+b+c\right)+3ab+3bc+3ac-abc\le1\)
Ta có: \(a+b+c=6\)
\(\Rightarrow-27+3ab+3bc+3ac-abc\le1\)
\(\Rightarrow-28+3ab+3bc+3ac\le abc\)
\(\Rightarrow2\left(-28+3ab+3bc+3ac\right)\le2abc\)
\(\Rightarrow2\left(-28+3ab+3bc+3ac\right)+3\left(a^2+b^2+c^2\right)\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)+2abc\)
\(\Rightarrow-56+6ab+6bc+6ac+3\left(a^2+b^2+c^2\right)\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)+2abc\)
\(\Rightarrow-56+3\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\right)\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)+2abc\)
\(\Rightarrow-56+3\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)+2abc\)
Ta có: \(a+b+c=6\)
\(\Rightarrow-56+3.6^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)+2abc\)
\(\Rightarrow52\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)+2abc\) ( đpcm )
Cách khác:
Áp dụng BĐT Schur:
\(abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)=(6-2a)(6-2b)(6-2c)\)
\(\Rightarrow abc\geq -216+24(ab+bc+ac)-8abc\Leftrightarrow 3abc\geq 8(ab+bc+ac)-72\)
Do đó \(\text{VT}=3(a^2+b^2+c^2)+2abc\geq 3(a^2+b^2+c^2)+\frac{16}{3}(ab+bc+ac)-48\)
\(\Leftrightarrow \text{VT}\geq 3(a+b+c)^2-\frac{2}{3}(ab+bc+ac)-48=60-\frac{2}{3}(ab+bc+ac)\)
Theo AM-GM \(ab+bc+ac\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=12\Rightarrow \text{VT}\geq 52\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=2$