Cho a,b,c thỏa mãn: a+b+c=0. Chứng minh rằng: ab+bc+ca <0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
MT
0
TK
3
12 tháng 3 2017
Ta có : \(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=-2\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Rightarrow ab+bc+ac=-\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Vì \(a^2+b^2+c^2\ge0\) \(\forall a;b;c\)
\(\Rightarrow-\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)\le0\) \(\forall a;b;c\)
Hay \(ab+bc+ac\le0\) (đpcm)
NT
1
23 tháng 12 2015
Đề : ab + 4bc + ca \(\le\)0
Có : a + b + c = 0 => a = - b - c
Thay vào ab + 4bc + ca \(\le\)0 ta đc:
(-b - c).b + 4bc + c.(-b - c) \(\le\) 0
=> -b2 - bc + 4bc - bc - c2 \(\le\)0
=> -b2 - c2 + 2bc \(\le\)0
=> - (b2 - 2bc + c2) \(\le\) 0
=> -(b - c)2 \(\le\) 0 (luôn đúng)
Vậy ab + 4bc + ca \(\le\) 0
NP
1
L
2
15 tháng 8 2019
Ta có: \(0\le\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\)(1)
theo đề bài:
\(a^2+b^2+ab+bc+ac< 0\)
=> \(2\left(a^2+b^2+ab+bc+ac\right)< 0\)
=> \(2a^2+2b^2+2ab+2bc+2ac< 0\)(2)
Từ (1); (2) =>\(2a^2+2b^2+2ab+2bc+2ac< \) \(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\)
=> \(a^2+b^2< c^2\)
DD
2
25 tháng 12 2016
Ta có \(a+b+c=0\)
\(=>a=-b-c\)
Ta có \(ab+bc+ac\le0\)
\(=>\left(-b-c\right)b+bc+\left(-b-c\right)c\le0\)
\(=>-b^2-bc+bc-bc-c^2\le0\)
\(=>-b^2-bc-c^2\le0\)
\(=>-\left(b^2+bc+c^2\right)\le0\)(ĐPCM)
TT
2
T
24 tháng 8 2019
MV xem nào;) Nhưng em ko chắc đâu nhá!
Đặt \(t=\frac{a+b}{2};f\left(a;b;c\right)=VT\). Xét:
\(f\left(a;b;c\right)-f\left(t;t;c\right)=ab-t^2+c\left(a+b-2t\right)-c\left(ab-t^2\right)\)
\(=\left(1-c\right)\left(ab-t^2\right)\le0\forall0< a,b,c< 1\) (chỉ cần nhận ra \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=t^2\) là xong:v)
Do đó \(f\left(a;b;c\right)\le f\left(t;t;c\right)\). Ta sẽ chứng minh:
\(f\left(t;t;c\right)\le\frac{8}{27}\Leftrightarrow f\left(t;t;1-2t\right)\le\frac{8}{27}\)
Đến đây chắc ok rồi nhỉ? Hàm số 1 biến?
4
SG
11 tháng 11 2018
Ta có: a + b + c = 0.
=> a = - b - c
b = -a - c
c = - a- b.
Nên ta có:
ab + bc + ca = (-b-c)b + (-a-c)c + (-a-b)a
= -b^2 - bc - ca -c^2 - a^2 - ab
= -( a^2 + b^2 + c^2)- (ab + bc + ca)
=> 2(ab + bc + ca) = -(a^2 + b^2 +c^2)
Mà -(a^2 + b^2 + c^2) bé hơn hoặc bằng 0 (do a^2 + b^2 + c^2 lớn hơn hoặc bằng 0)
=> 2(ab + bc + ca ) bé hơn hoặc bằng 0.
=> ab + bc + ca bé hơn hoặc bằng 0.
Vậy ab + bc + ca bé hơn hoặc bằng 0.
2 tháng 3 2019
Ta có:
\(\Rightarrow a\left(a+b+c\right)=b\left(a+b+c\right)=c\left(a+b+c\right)=0\)
\(\Rightarrow a^2+ab+ac=ab+b^2+bc=ca+cb+c^2=0\)
\(\Rightarrow\left(ab+bc+ca\right)+\left(a^2+b^2+c^2\right)=0\)
Do \(a^2+b^2+c^2\ge0\Rightarrow ab+bc+ca\le0^{đpcm}\)