Chứng minh rằng : sin x cos x $\le$ 2( sin x^3 cos x^3) biết 0

HN

hiền nguyễn thị thúy

31 tháng 10 2016

Chứng minh rằng : sin x+ cos x $\le$ 2( sin x^3+ cos x^3) biết 0<x<90

#Toán lớp 9

0

SG

Sách Giáo Khoa

8 tháng 4 2017

Chứng minh rằng với $0^0\le x\le180^0$ ta có :

a) $\left(\sin x+\cos x\right)^2=1+2\sin x\cos x$

b) $\left(\sin x-\cos x\right)^2=1-2\sin x\cos x$

c) $\sin^4x+\cos^4x=1-2\sin^2x\cos^2x$

#Toán lớp 10

1

BT

Bùi Thị Vân

18 tháng 5 2017

a) $\left(sinx+cosx\right)^2=sin^2x+2sinxcosx+cos^2x$$=1+2sinxcosx$.
b) $\left(sinx-cosx\right)^2=sin^2x-2sinxcosx+cos^2x$$=1-2sinxcosx$.
c) $sin^4x+cos^4x=\left(sin^2x+cos^2x\right)^2-2sin^2xcos^2x$
$=1-2sin^2xcos^2x$.

Đúng(0)

DT

Đỗ Thị Minh Ngọc

22 tháng 10 2023

Biết sin x + cos x = m

a) Tìm $\left|\sin^4-\cos^4\right|$

b) Chứng minh rằng $\left|m\right|$$\le\sqrt{2}$

#Toán lớp 10

1

NL

Nguyễn Lê Phước Thịnh

23 tháng 10 2023

a: $\left(sinx+cosx\right)^2=m^2$

=>$m^2=sin^2x+cos^2x+2\cdot sinx\cdot cosx$

=>$2\cdot sinx\cdot cosx=m^2-1$

$\left(sinx-cosx\right)^2=sin^2x+cos^2x-2\cdot sinx\cdot cosx$

$=1-\left(m^2-1\right)=2-m^2$

$\left|sin^4x-cos^4x\right|=\left|\left(sin^2x+cos^2x\right)\left(sin^2x-cos^2x\right)\right|$

$=\left|sin^2x-cos^2x\right|$

$=\left|\left(sinx+cosx\right)\left(sinx-cosx\right)\right|$

$=\left|m\left(2-m^2\right)\right|=\left|2m-m^3\right|$

b: $m=sinx+cosx$

$=\sqrt{2}\cdot\left(sinx\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}+cosx\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$

$=\sqrt{2}\cdot sin\left(x+\dfrac{\Omega}{4}\right)$

=>$\left|m\right|=\sqrt{2}\cdot\left|sin\left(x+\dfrac{\Omega}{4}\right)\right|$

$0< =\left|sin\left(x+\dfrac{\Omega}{4}\right)\right|< =1$

=>$0< =\sqrt{2}\cdot\left|sin\left(x+\dfrac{\Omega}{4}\right)\right|< =\sqrt{2}$

=>$\left|m\right|< =\sqrt{2}$

Đúng(0)

DN

Dương Nguyễn

9 tháng 7 2021

2. CM:

a) $-1\le\dfrac{2\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x+3}\le\dfrac{5}{7}$

b) $\dfrac{2}{11}\le\dfrac{2\sin x+\cos x+2}{2\cos x-\sin x+4}\le2$

#Toán lớp 11

2

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

9 tháng 7 2021

a.

Đặt $y=\dfrac{2sinx+cosx}{sinx-cosx+3}$

$\Leftrightarrow y.sinx-y.cosx+3y=2sinx+cosx$

$\Leftrightarrow\left(2-y\right)sinx+\left(y+1\right)cosx=3y$

Theo điều kiện có nghiệm của pt lượng giác bậc nhất:

$\left(2-y\right)^2+\left(y+1\right)^2\ge9y^2$

$\Leftrightarrow7y^2+2y-5\le0$

$\Leftrightarrow-1\le y\le\dfrac{5}{7}$ (đpcm)

Đúng(1)

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

9 tháng 7 2021

b.

Hoàn toàn tương tự câu a:

Đặt $y=\dfrac{2sinx+cosx+2}{2cosx-sinx+4}$

$\Leftrightarrow2y.cosx-y.sinx+4y=2sinx+cosx+2$

$\Leftrightarrow\left(y+2\right)sinx+\left(1-2y\right)cosx=4y-2$

Theo đk có nghiệm pt lượng giác bậc nhất:

$\left(y+2\right)^2+\left(1-2y\right)^2\ge\left(4y-2\right)^2$

$\Leftrightarrow11y^2-16y-1\le0$

$\Leftrightarrow\dfrac{8-5\sqrt{3}}{11}\le y\le\dfrac{8+5\sqrt{3}}{11}$

Đề bài chắc sai, em kiểm tra lại số liệu đề câu b nhé

Đúng(1)

TH

Trịnh Hương Giang

18 tháng 11 2019

Biết sin x + cos x = m. Tìm $\left|\sin^4x-\cos^4x\right|$ . Chứng minh rằng $\left|m\right|\le\sqrt{2}$

#Toán lớp 10

2

PN

Pumpkin Night

18 tháng 11 2019

$A=\left|\sin^4x-\cos^4x\right|=\left|\left(\sin^2x\right)^2-\left(\cos^2x\right)^2\right|$

$A=\left|\left(1-\cos^2x\right)^2-\left(\cos^2x\right)^2\right|=\left|1-2\cos^2x+\cos^4x-\cos^4x\right|$

$\sin x+\cos x=m\Rightarrow\cos x=m-\sin x\Rightarrow\sin x-\cos x=\sin x-m+\sin x=2\sin x-m$

Có $\sin x+\cos x=m\Rightarrow\sin^2x+\cos^2x+2\sin x.\cos x=m^2$

$\Leftrightarrow2\sin x.\cos x=m^2-1$

$\left(\sin x-\cos x\right)^2=\sin^2x+\cos^2x-2\sin x.\cos x=1-2.\left(m^2-1\right)=1-2m^2+2=3-2m^2$

$\Rightarrow\sin x-\cos x=\sqrt{\left(\sin x-\cos x\right)^2}=\sqrt{3-2m^2}$

$A=\left|m\sqrt{3-2m^2}\right|=\left|m\right|.\left|\sqrt{3-2m^2}\right|$

P/s: lm đc mỗi đến đây thui à, cái CM kia chịu nhoa :)

Đúng(0)

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

20 tháng 11 2019

$\left(sinx+cosx\right)^2=m^2\Rightarrow1+2sinx.cosx=m^2$$\Rightarrow2sinx.cosx=m^2-1$

$\Rightarrow\left(sinx-cosx\right)^2=\left(sinx+cosx\right)^2-4sinx.cosx=m^2-2\left(m^2-1\right)=2-m^2$

Mà $\left(sinx-cosx\right)^2\ge0$ $\forall x\Rightarrow2-m^2\ge0\Rightarrow m^2\le2\Rightarrow\left|m\right|\le\sqrt{2}$

Ta lại có $\left(sinx-cosx\right)^2=2-m^2\Rightarrow\left|sinx-cosx\right|=\sqrt{2-m^2}$

$A=\left|sin^4x-cos^4x\right|=\left|\left(sin^2x+cos^2x\right)\left(sin^2x-cos^2x\right)\right|$

$=\left|\left(sinx-cosx\right)\left(sinx+cosx\right)\right|$

$=\left|m\sqrt{2-m^2}\right|=\left|m\right|\sqrt{2-m^2}$

Đúng(0)

PV

Phong Vũ

7 tháng 2 2021

Chứng minh: 1.$\dfrac{\cot^2x-\sin^2x}{\cot^2x-\tan^2x}=\sin^2x\cdot\cos^2x$ 2.$\dfrac{1-\sin x}{\cos x}-\dfrac{\cos x}{1+\sin x}=0$ 3.$\dfrac{\tan x}{\sin x}-\dfrac{\sin x}{\cot x}=\cos x$ 4.\(\dfrac{\tan x}{1-\tan^2x}\cdot\dfrac{\cot^2x-1}{\cot...

Đọc tiếp

#Toán lớp 10

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

8 tháng 2 2021

Câu 1 đề sai, chắc chắn 1 trong 2 cái $cot^2x$ phải có 1 cái là $cos^2x$

2.

$\dfrac{1-sinx}{cosx}-\dfrac{cosx}{1+sinx}=\dfrac{\left(1-sinx\right)\left(1+sinx\right)-cos^2x}{cosx\left(1+sinx\right)}=\dfrac{1-sin^2x-cos^2x}{cosx\left(1+sinx\right)}$

$=\dfrac{1-\left(sin^2x+cos^2x\right)}{cosx\left(1+sinx\right)}=\dfrac{1-1}{cosx\left(1+sinx\right)}=0$

3.

$\dfrac{tanx}{sinx}-\dfrac{sinx}{cotx}=\dfrac{tanx.cotx-sin^2x}{sinx.cotx}=\dfrac{1-sin^2x}{sinx.\dfrac{cosx}{sinx}}=\dfrac{cos^2x}{cosx}=cosx$

4.

$\dfrac{tanx}{1-tan^2x}.\dfrac{cot^2x-1}{cotx}=\dfrac{tanx}{1-tan^2x}.\dfrac{\dfrac{1}{tan^2x}-1}{\dfrac{1}{tanx}}=\dfrac{tanx}{1-tan^2x}.\dfrac{1-tan^2x}{tanx}=1$

5.

$\dfrac{1+sin^2x}{1-sin^2x}=\dfrac{1+sin^2x}{cos^2x}=\dfrac{1}{cos^2x}+tan^2x=\dfrac{sin^2x+cos^2x}{cos^2x}+tan^2x$

$=tan^2x+1+tan^2x=1+2tan^2x$

Đúng(3)

DN

Dương Nguyễn

10 tháng 7 2021

1. CM:

$\dfrac{1}{2}\le\dfrac{\sin x+2\cos x+3}{2\sin x\cos x+3}\le2$

2. Giải PT:

a) $\dfrac{1}{\cos x}=4\sin x+6\cos x$

b) $\sin^3\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\sin x$

c) $\dfrac{1}{\cos x}+\dfrac{1}{\sin2x}=\dfrac{2}{\sin4x}$

#Toán lớp 11

3

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

10 tháng 7 2021

1.

Kiểm tra lại đề bài, câu này phải là $\dfrac{sinx+2cosx+3}{2sinx+cosx+3}$ mới đúng

2.a

ĐKXĐ: $cosx\ne0$

$\Leftrightarrow\dfrac{1}{cos^2x}=4tanx+6$

$\Leftrightarrow1+tan^2x=4tanx+6$

$\Leftrightarrow tan^2x-4tanx-5=0$

$\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}tanx=-1\\tanx=5\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi\\x=arctan\left(5\right)+k\pi\end{matrix}\right.$

Đúng(4)

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

10 tháng 7 2021

2b.

Đặt $x-\dfrac{\pi}{4}=t\Rightarrow x=t+\dfrac{\pi}{4}$

$sin^3t=\sqrt{2}sin\left(t+\dfrac{\pi}{4}\right)$

$\Leftrightarrow sin^3t=sint+cost$

$\Leftrightarrow sint\left(1-cos^2t\right)=sint+cost$

$\Leftrightarrow sint.cos^2t+cost=0$

$\Leftrightarrow cost\left(sint.cost+1\right)=0$

$\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cost=0\\sin2t=-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=0\\sin\left(2x-\dfrac{\pi}{2}\right)=-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=0\\cos2x=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow...$

Đúng(4)

LS

LY SA

2 tháng 5 2020

Bài tập 3: Cho hàm số
f( x )=c o s x. Chứng minh rằng:
2f'(x+pi/3).f'(x-pi/6)=f'(0)-f(2x+pi/6)
Bài tập 4: Cho hàm số y=3(sin^4 x +cos^4 )-2(sin^6 x +cos^6 x). Chứng minh rằng: y'=0 \-/ x€ Z
Bài tập 5: Cho hàm số
Y= (sin x/ 1+cos x)^3. CMR: y'.sinx-3y=0

#Toán lớp 11

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

4 tháng 5 2020

3.

$f\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\Rightarrow f'\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=-sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$

$f'\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=-sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)$

$f'\left(0\right)=-sin\left(0\right)=0$

$2f'\left(x+\frac{\pi}{3}\right).f'\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=2sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)$

$=cos\left(\frac{\pi}{2}\right)-cos\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=-cos\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)$

$f'\left(0\right)-f\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=0-cos\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=-cos\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)$

$\Rightarrow2f'\left(x+\frac{\pi}{3}\right)f'\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=f'\left(0\right)-f\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)$ (đpcm)

4.

$y=3\left(sin^4x+cos^4x\right)-2\left(sin^6x+cos^6x\right)$

$=3\left(sin^2x+cos^2x\right)^2-6sin^2x.cos^2x-2\left(sin^2x+cos^2x\right)^3+6sin^2x.cos^2x\left(sin^2x+cos^2x\right)$

$=3-2=1$

$\Rightarrow y'=0$ ; $\forall x$

5.

$y=\left(\frac{sinx}{1+cosx}\right)^3=\left(\frac{sinx\left(1-cosx\right)}{1-cos^2x}\right)^3=\left(\frac{sinx\left(1-cosx\right)}{sin^2x}\right)^3=\left(\frac{1-cosx}{sinx}\right)^3$

$y'=3\left(\frac{1-cosx}{sinx}\right)^2\left(\frac{sin^2x-cosx\left(1-cosx\right)}{sin^2x}\right)=3\left(\frac{1-cosx}{sinx}\right)^2\left(\frac{1-cosx}{sin^2x}\right)=\frac{3\left(1-cosx\right)^3}{sin^4x}$

$\Rightarrow y'.sinx-3y=\frac{3\left(1-cosx\right)^3}{sin^3x}-3\left(\frac{1-cosx}{sinx}\right)^3=0$ (đpcm)

Đúng(2)

TT

Thầy Tùng Dương

VIP

23 tháng 3 2022 - olm

Biết $\sin x+\cos x=m$.

a) Tính $\sin x \cos x$ và $\left|\sin ^{4} x-\cos ^{4} x\right|$ theo $m$.

b) Chứng minh rằng $|m| \leq \sqrt{2}$.

#Toán lớp 10

2

NN

Nguyễn Ngọc Quỳnh Như

23 tháng 3 2022

tôi nói

Đúng(0)

CT

Cao Thị Kim Ngân

18 tháng 7 2022

a) Ta có (\sin x+\cos x)^{2}=\sin ^{2} x+2 \sin x \cos x+\cos ^{2} x=1+2 \sin x \cos x(sinx+cosx)2=sin2x+2sinxcosx+cos2x=1+2sinxcosx (*)
Mặt khác \sin x+\cos x=msinx+cosx=m nên m^{2}=1+2 \sin \alpha \cos \alpham2=1+2sinαcosα hay \sin \alpha \cos \alpha=\dfrac{m^{2}-1}{2}sinαcosα=2m2−1
Đặt A=\left|\sin ^{4} x-\cos ^{4} x\right|A=∣∣sin4x−cos4x∣∣. Ta có
A=\left|\left(\sin ^{2} x+\cos ^{2} x\right)\left(\sin ^{2} x-\cos ^{2} x\right)\right|=|(\sin x+\cos x)(\sin x-\cos x)|A=∣∣(sin2x+cos2x)(sin2x−cos2x)∣∣=∣(sinx+cosx)(sinx−cosx)∣
\Rightarrow A^{2}=(\sin x+\cos x)^{2}(\sin x-\cos x)^{2}=(1+2 \sin x \cos x)(1-2 \sin x \cos x)⇒A2=(sinx+cosx)2(sinx−cosx)2=(1+2sinxcosx)(1−2sinxcosx)

\Rightarrow A^{2}=\left(1+\dfrac{m^{2}-1}{2}\right)\left(1-\dfrac{m^{2}-1}{2}\right)=\dfrac{3+2 m^{2}-m^{4}}{4}⇒A2=(1+2m2−1)(1−2m2−1)=43+2m2−m4
Vậy A=\dfrac{\sqrt{3+2 m^{2}-m^{4}}}{2}A=23+2m2−m4

b) Ta có 2 \sin x \cos x \leq \sin ^{2} x+\cos ^{2} x=12sinxcosx≤sin2x+cos2x=1 kết hợp với (*)(∗) suy ra

(\sin x+\cos x)^{2} \leq 2 \Rightarrow|\sin x+\cos x| \leq \sqrt{2}(sinx+cosx)2≤2⇒∣sinx+cosx∣≤2

Vậy |m| \leq \sqrt{2}∣m∣≤2.

Đúng(0)

SG

Sách Giáo Khoa

11 tháng 4 2017

Chứng minh rằng $f'\left(x\right)=0;\forall x\in R$ nếu...

Đọc tiếp

#Toán lớp 11

1