Cho các số thực x, y thỏa mãn
x4 + y4 + x2 – 3 = 2y2(1 – x2).
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A = x2 + y2.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
24 tháng 5 2021
\(x^2+y^2+xy=3\)
Có \(x^2+y^2\ge2xy\) \(\Rightarrow3=x^2+y^2+xy\ge2xy+xy\) \(\Leftrightarrow xy\le1\)
\(x^2+y^2\ge-2xy\) \(\Rightarrow3=x^2+y^2+xy\ge-2xy+xy\) \(\Leftrightarrow-3\le xy\)
Đặt A= \(x^2+y^2-xy=\left(3-xy\right)-xy=3-2xy\)
mà \(-3\le xy\le1\) \(\Rightarrow9\ge3-2xy\ge1\)
=> minA=1 <=> \(\left\{{}\begin{matrix}xy=1\\x=y\end{matrix}\right.\) <=>x=y=1
maxA=9 <=>\(\left\{{}\begin{matrix}xy=-3\\x=-y\end{matrix}\right.\) <=>\(\left(x;y\right)=\left(\sqrt{3};-\sqrt{3}\right);\left(-\sqrt{3};\sqrt{3}\right)\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 5 2021
Đặt \(P=x^2+y^2-xy\)
\(\Rightarrow\dfrac{P}{3}=\dfrac{x^2+y^2-xy}{3}=\dfrac{x^2+y^2-xy}{x^2+y^2+xy}\)
\(\dfrac{P}{3}=\dfrac{3x^2+3y^2-3xy}{3\left(x^2+y^2+xy\right)}=\dfrac{x^2+y^2+xy+2\left(x^2+y^2-2xy\right)}{3\left(x^2+y^2+xy\right)}\)
\(\dfrac{P}{3}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2\left(x-y\right)^2}{3\left(x^2+y^2+xy\right)}\ge\dfrac{1}{3}\Rightarrow P\ge1\)
\(P_{min}=1\) khi \(x=y=1\)
\(\dfrac{P}{3}=\dfrac{x^2+y^2-xy}{x^2+y^2+xy}=\dfrac{3\left(x^2+y^2+xy\right)-2\left(x^2+y^2+2xy\right)}{x^2+y^2+xy}=3-\dfrac{2\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2+xy}\le3\)
\(\Rightarrow P\le9\)
\(P_{max}=9\) khi \(\left(x;y\right)=\left(\sqrt{3};-\sqrt{3}\right);\left(-\sqrt{3};\sqrt{3}\right)\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 12 2020
\(x^2+y^2=1+xy\Rightarrow x^2+y^2-xy=1\)
Ta có: \(1+xy=x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow xy\le1\)
\(1+xy=x^2+y^2\ge-2xy\Rightarrow xy\ge-\dfrac{1}{3}\)
\(P=\left(x^2+y^2\right)^2-x^2y^2-2x^2y^2=\left(x^2+y^2-xy\right)\left(x^2+y^2+xy\right)-2x^2y^2\)
\(=x^2+y^2+xy-2x^2y^2=-2x^2y^2+2xy+1\)
Đặt \(a=xy\Rightarrow P=f\left(a\right)=-2a^2+2a+1\)
Xét hàm \(f\left(a\right)=-2a^2+2a+1\) trên \(\left[-\dfrac{1}{3};1\right]\)
\(-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{1}{2}\in\left[-\dfrac{1}{3};1\right]\)
\(f\left(-\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{1}{9}\) ; \(f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{3}{2}\) ; \(f\left(1\right)=1\)
\(\Rightarrow M=\dfrac{3}{2}\) ; \(m=\dfrac{1}{9}\) \(\Rightarrow Mm=\dfrac{1}{6}\)
CM
22 tháng 2 2019
Chọn B.
Phương pháp:
Biến đổi đẳng thức đã cho để đưa về dạng phương trình đường tròn (C) tâm I bán kính R.
Từ đó ta đưa bài toán về dạng bài tìm M x ; y ∈ C để O M - a lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
Xét các trường hợp xảy ra để tìm a.
Cách giải:
