CHo các số thực x , y ( x + y khác 0 )
CHứng minh rằng: \(x^2+y^2+\left(\frac{1+xy}{x+y}\right)^2\ge2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
KC
1
NG
22 tháng 4 2018
\(x^2+y^2+\left(\frac{1+xy}{x+y}\right)^2\ge2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-2xy+\left(\frac{1+xy}{x+y}\right)^2\ge2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-2\left(xy+1\right)+\left(\frac{1+xy}{x+y}\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-\frac{2\left(x+y\right)\left(xy+1\right)}{\left(x+y\right)}+\left(\frac{1+xy}{x+y}\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y-\frac{xy+1}{x+y}\right)^2\ge0\) (đúng)
Vậy ...
TA
1
BT
14 tháng 3 2018
Theo Cauche ta có:
\(\left(x+y\right)^2+\left(\frac{1+xy}{x+y}\right)^2\ge2\left(x+y\right).\frac{1+xy}{x+y}=2\left(1+xy\right)=2+2xy\)
<=> \(x^2+y^2+2xy+\left(\frac{1+xy}{x+y}\right)^2\ge2+2xy\)
<=> \(x^2+y^2+\left(\frac{1+xy}{x+y}\right)^2\ge2+2xy-2xy=2\)=> ĐPCM
DV
9 tháng 2 2016
Đặt \(z=-\frac{1+xy}{x+y}\)ta có \(xy+yz+zx=-1\)và bất đẳng thức đã cho trở thành:
\(x^2+y^2+z^2\ge2\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge-2\left(xy+yz+zx\right)\)\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge0\)( luôn đúng )
Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh.
Mình giải thế này có đúng ko?
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
29 tháng 4 2020
\(VT=x^2+y^2+\left(\frac{1+xy}{x+y}\right)^2=\left(x+y\right)^2+\left(\frac{1+xy}{x+y}\right)^2-2xy\)
\(VT\ge2\sqrt{\frac{\left(x+y\right)^2\left(1+xy\right)^2}{\left(x+y\right)^2}}-2xy=2\left|1+xy\right|-2xy\)
\(VT\ge2\left(1+xy\right)-2xy=2\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x+y\right)^2=1+xy\)
FN
Cho các số x , y thỏa mãn x + y \(\ne\)0
Chứng minh : \(x^2+y^2+\left(\frac{1+xy}{x+y}\right)^2\ge2\)
4
TN
11 tháng 3 2018
thằng ngu lê anh tú ko biết gì thì im vào
Đặt \(\hept{\begin{cases}S=x+y\\P=xy\end{cases}}\)\(\Rightarrow x^2+y^2=S^2-2P\)
Ta cần chứng minh \(S^2-2P+\left(\frac{P+1}{S}\right)^2\ge2\)
\(\Leftrightarrow S^2-2\left(P+1\right)+\left(\frac{P+1}{S}\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow S^2-\frac{2S\left(P+1\right)}{S}+\left(\frac{P+1}{S}\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(S-\frac{P+1}{S}\right)^2\ge0\) *luôn đúng*
Đặt \(z=-\frac{1+xy}{x+y}\) ta có \(xy+yz+zx=-1\) và BĐT trở thành
\(x^2+y^2+z^2\ge2\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge-2\left(xy+yz+zx\right)\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )
Vậy BĐT được chứng minh.
- Sai thì nói mình nhé =)