Question

[Dương Văn Quang]

Cho a khác 0 và a+1/a nguyên. Chứng minh rằng với n nguyên thì aⁿ+1/aⁿ nguyên

Answer 1

[Lê Chí Cường]

a+1/a là số nguyên.

=>a+1 chia hết cho a

=>1 chia hết cho a

=>a=Ư(1)=(-1,1)

Xét a=1=>aⁿ+1=1+1=2 chia hết cho 1=1ⁿ=aⁿ

=>aⁿ+a chia hết cho aⁿ

=>aⁿ+1/a là số nguyên.

Xét a=-1.

Với n chẵn=>aⁿ+1=1+1=2 chia hết cho 1=1ⁿ=aⁿ

=>aⁿ+a chia hết cho aⁿ

=>aⁿ+1/a là số nguyên.

Với n lẻ=>aⁿ+1=-1+1=0 chia hết cho -1=(-1)ⁿ=aⁿ

=>aⁿ+a chia hết cho aⁿ

=>aⁿ+1/a là số nguyên.

Vậy aⁿ+1/a là số nguyên.

Answer 2

[Thầy Giáo Toán]

Bạn Lê Chí Cường giải không đúng, do hiểu nhầm \(a+\frac{1}{a}\). là \(\frac{a+1}{a}\).

Bài này giải như sau: Ta tiến hành chứng minh bằng quy nạp rằng \(a^n+\frac{1}{a^n}\) là số nguyên dương với mọi \(n\) nguyên dương.

Thực vậy, theo giả thiết \(a+\frac{1}{a}\in Z\) nên khẳng định đúng khi \(n=1.\)

Với \(n=2,\) thì ta có \(a^2+\frac{1}{a^2}=\left(a+\frac{1}{a}\right)^2-2\in Z.\)

Giả sử rằng \(a^k+\frac{1}{a^k}\) là số nguyên dương với mọi \(k\) nguyên dương với mọi \(k=1,\ldots,n\). Ta cần chứng minh \(a^{n+1}+\frac{1}{a^{n+1}}\)  cũng là số nguyên. Thực vậy, ta có \(\left(a+\frac{1}{a}\right)\left(a^n+\frac{1}{a^n}\right)=\left(a^{n+1}+\frac{1}{a^{n+1}}\right)+\left(a^{n-1}+\frac{1}{a^{n-1}}\right)\)

\(\to a^{n+1}+\frac{1}{a^{n+1}}=\left(a+\frac{1}{a}\right)\left(a^n+\frac{1}{a^n}\right)-\left(a^{n-1}+\frac{1}{a^{n-1}}\right)\).

Theo giả thiết quy nạp \(\left(a+\frac{1}{a}\right),\left(a^n+\frac{1}{a^n}\right),\left(a^{n-1}+\frac{1}{a^{n-1}}\right)\)  là các số nguyên nên \(a^{n+1}+\frac{1}{a^{n+1}}\)  cũng là số nguyên.

Vậy khẳng định đúng với \(n+1.\). Theo nguyên lí quy nạp khẳng định đúng với mọi số nguyên dương \(n.\)