Question

[Trần Đức Thắng]

Cho a ; b ; c là độ dài ba cạnh tam giác . CM : 

\(\sqrt{2}\left(a+b+c\right)\le\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\le\sqrt{3}\left(a+b+c\right)\)

Answer 1

[Trần Thị Loan]

+) Chứng minh: \(\sqrt{2}\left(a+b+c\right)\le\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\)

Áp dụng B ĐT Bu nhia có: (a+ b)² \(\le\) 2(a² + b²) => \(a+b\le\sqrt{2}.\sqrt{a^2+b^2}\)

Tương tự ta có: \(b+c\le\sqrt{2}.\sqrt{b^2+c^2};c+a\le\sqrt{2}.\sqrt{c^2+a^2}\)

Cộng từng vế của B ĐT trên => \(2.\left(a+b+c\right)\le\sqrt{2}.\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)\)

=> \(\sqrt{2}\left(a+b+c\right)\le\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c

+) Chứng minh \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}<\sqrt{3}\left(a+b+c\right)\) 

Vì a; b; c là 3 cạnh của tam giác nên ta có: (a - b)² < c²; (b - c)² < a^{2 ;}  (c -a) ² < b²

=> a² + b² < c² + 2ab; b² + c² < a² + 2bc ; c² + a² < b² + 2ac

=> \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}<\sqrt{c^2+2ab}+\sqrt{a^2+2bc}+\sqrt{b^2+2ca}\)

Mặt khác, Dễ dạng chứng minh được (x+ y + z)² \(\le\) 3.(x²+y²+z²)( Bằng cách biến đổi tuơng đương)

=> \(\left(\sqrt{c^2+2ab}+\sqrt{a^2+2bc}+\sqrt{b^2+2ca}\right)^2\le3\left(c^2+2ab+a^2+2bc+b^2+2ca\right)=3\left(a+b+c\right)^2\)

=> \(\sqrt{c^2+2ab}+\sqrt{a^2+2bc}+\sqrt{b^2+2ca}\le\sqrt{3}\left(a+b+c\right)\)

=> \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}<\sqrt{3}\left(a+b+c\right)\)

Theo chứng minh này, dấu "=" không thể xảy ra ở Bất đẳng thức thứ 2

Vậy....