Question

[Dương Thanh Trúc]

Tìm phân số dương có giá trị nhỏ nhất khác 0 sao cho khi chia phân số này cho mỗi phân số 9/10 ; 15/22 ta được kết quả là các số nguyên

Answer 1

[Đoàn Đức Hà]

Gọi phân số đó có dạng \(\frac{a}{b}\), \(a,b\inℕ^∗;\left(a,b\right)=1\).

Ta có: \(\frac{a}{b}\div\frac{9}{10}=\frac{10a}{9b}\)là một số nguyên suy ra \(10a⋮b\Rightarrow10⋮b\)(vì \(\left(a,b\right)=1\))

suy ra \(b\in\left\{1,2,5,10\right\}\).

Ta có: \(\frac{a}{b}\div\frac{15}{22}=\frac{22a}{15b}\)là một số nguyên suy ra \(22a⋮b\Rightarrow22⋮b\)(vì \(\left(a,b\right)=1\))

suy ra \(b\in\left\{1,2,11,22\right\}\)

Suy ra \(b\in\left\{1,2\right\}\).

Ta có: \(\frac{a}{b}\div\frac{9}{10}=\frac{10a}{9b}\)là một số nguyên suy ra \(a⋮9\)(vì \(\left(a,b\right)=1\))

suy ra \(a\in B\left(9\right)\).

Ta có: \(\frac{a}{b}\div\frac{15}{22}=\frac{22a}{15b}\)là một số nguyên suy ra \(a⋮15\)(vì \(\left(a,b\right)=1\))

suy ra \(a\in B\left(15\right)\).

Suy ra \(a\in BC\left(9,15\right)\)mà ta cần tìm phân số nhỏ nhất nên \(a\)nhỏ nhất nên \(a=BCNN\left(9,15\right)=3^2.5=45\).

Phân số cần tìm là: \(\frac{45}{2}\).