CMR: \(\frac{x+y}{2}=\sqrt{xy}\forall x,y>0\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
8 tháng 7 2022
a: \(x^2+x+1=x^2+x+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\)
b: \(x-2\cdot\sqrt{x}\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=\left(\sqrt{x}-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\)
c: \(=x^2-2\cdot x\cdot\dfrac{1}{2}y+\dfrac{1}{4}y^2+\dfrac{3}{4}y^2=\left(x-\dfrac{1}{2}y\right)^2+\dfrac{3}{4}y^2>0\forall x,y\ne0\)
TK
1
12 tháng 3 2019
\(VT=\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2+y^2}=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}\)
Áp dụng BĐT Cauchy schawazr ta có :
\(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{\left(x+y\right)^2}+\frac{1}{\frac{2\left(x+y\right)^2}{4}}=4+2=6\)
Vậy đẳng thức đã được chứng minh .
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
TN
15 tháng 6 2017
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\sqrt[3]{yz}\le\frac{y+z+1}{3}\Rightarrow\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}\ge\frac{x}{\frac{y+z+1}{3}}=\frac{3x}{y+z+1}\)
Tương tự rồi cộng lại ta có:
\(VT\ge3\left(\frac{x}{y+z+1}+\frac{y}{x+z+1}+\frac{z}{x+y+1}\right)\)
\(=3\left(\frac{x^2}{xy+yz+x}+\frac{y^2}{xy+yz+y}+\frac{z^2}{yz+xz+z}\right)\)
\(\ge\frac{3\left(x^4+y^4+z^4\right)}{2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2+y^2+z^2}\)
\(=x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz=VP\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=1\)
4 tháng 10 2019
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\sqrt[3]{yz}\le\frac{y+z+1}{3}\Rightarrow\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}\ge\frac{x}{\frac{y+z+1}{3}}=\frac{3x}{y+z+1}3yz≤3y+z+1⇒3yzx≥3y+z+1x=y+z+13x
Tương tự rồi cộng lại ta có:
VT\ge3\left(\frac{x}{y+z+1}+\frac{y}{x+z+1}+\frac{z}{x+y+1}\right)VT≥3(y+z+1x+x+z+1y+x+y+1z)
=3\left(\frac{x^2}{xy+yz+x}+\frac{y^2}{xy+yz+y}+\frac{z^2}{yz+xz+z}\right)=3(xy+yz+xx2+xy+yz+yy2+yz+xz+zz2)
\ge\frac{3\left(x^4+y^4+z^4\right)}{2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2+y^2+z^2}≥2(xy+yz+xz)+x+y+z3(x4+y4+z4)≥x2+y2+z2(x2+y2+z2)2
=x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz=VP=x2+y2+z2≥xy+yz+xz=VP
Đẳng thức xảy ra khi x=y=z=1x=y=z=1
NT
0
2 tháng 2 2019
Áp dụng BĐT AM-GM cho 3 số không âm, ta có: \(0< \sqrt[3]{yz.1}\le\frac{y+z+1}{3}\Rightarrow\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}\ge\frac{3x}{y+z+1}\)
Làm tương tự với 2 hạng tử còn lại rồi cộng theo vế thì có:
\(\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{zx}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy}}\ge3\left(\frac{x}{y+z+1}+\frac{y}{z+x+1}+\frac{z}{x+y+1}\right)\)
\(=3\left(\frac{x^2}{xy+xz+x}+\frac{y^2}{xy+yz+y}+\frac{z^2}{zx+yz+z}\right)\ge^{Schwartz}3.\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+2\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(=3.\frac{x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)}{x+y+z+2\left(xy+yz+zx\right)}\ge9.\frac{xy+yz+zx}{\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}+2\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)
\(=9.\frac{xy+yz+zx}{3+2.3}=xy+yz+zx\) => ĐPCM.
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1.
KM
3
21 tháng 10 2018
\(\sqrt{xy}\le\frac{\left|x\right|+\left|y\right|}{2}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left|x\right|+\left|y\right|\ge2\sqrt{xy}\)
\(\Leftrightarrow\)\(x+y\ge2\sqrt{xy}\) ( vì \(x,y>0\) )
\(\Leftrightarrow\)\(x-2\sqrt{xy}+y=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\ge0\) ( luôn đúng với mọi x, y )
Vậy \(\sqrt{xy}\le\frac{\left|x\right|+\left|y\right|}{2}\)
Chúc bạn học tốt ~
21 tháng 10 2018
\(\left|x\right|\ge0\); \(\left|y\right|\ge0\) Áp dụng bất đặng thức Cauchy cho hai số không âm:
\(\left|x\right|+\left|y\right|\ge2\sqrt{\left|x\right|\left|y\right|}=2\sqrt{xy}\)Vì xy>0
Suy ra điều cần chứng minh
Đề sai rồi phải là \(\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}\) chứ!
Ta có: \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\ge0\forall x;y\)
\(\Leftrightarrow x-2\sqrt{xy}+y\ge0\)
\(\Leftrightarrow x+y\ge2\sqrt{xy}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y
Vậy .....
Tk nha!
mình chỉnh lại đề: CMR: \(\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}\) \(\forall x;y>0\)
Bài làm
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{x+y}{2}\ge\frac{2\sqrt{xy}}{2}=\sqrt{xy}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y\)