Cmr: \(\left(a^{10}+b^{10}\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a^8+b^8\right)\left(a^4+b^4\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HA
3
25 tháng 5 2017
Ta có:(a10+b10)(a2+b2)-(a8+b8)(a4+b4)
=a12+b12+a2b10+a10b2-a12-b12-a8b4-a4b8
=a2b2(a8+b8-a6b2-a2b6)
=a2b2[a6(a2-b2)-b6(a2-b2)]
=a2b2(a2-b2)(a6-b6)
=a2b2(a2-b2)(a2-b2)(a4+a2b2+b4)
=a2b2(a2-b2)2(a4+a2b2+b4)
Do a2b2\(\ge\)0 với mọi a;b
(a2-b2)2\(\ge\)0 với mọi a;b
a4+a2b2+b4>0 với mọi a;b(bình phương thiếu)
=>a2b2(a2-b2)2(a4+a2b2+b4)\(\ge\)0 với mọi a;b
=>(a10+b10)(a2+b2)\(\ge\)(a8+b8)(a4+b4)
DT
25 tháng 5 2017
Ta có bất đẳng thức Bunhiacopski : \(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(ax+by\right)^2\)
Dấu = xảy ra khi \(\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}\)
\(\left[\left(a^5\right)^2+\left(b^5\right)^2\right]\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a^6+b^6\right)^2\) (1)
\(\left[\left(a^4\right)^2+\left(b^4\right)^2\right]\left[\left(a^2\right)^2+\left(b^2\right)^2\right]\ge\left(a^6+b^6\right)^2\) (2)
Trừ từng vế của 2 bất đẳng thức (1)(2) ta dược : \(\left[\left(a^5\right)^2+\left(b^5\right)^2\right]\left(a^2+b^2\right)-\left[\left(a^4\right)^2+\left(b^4\right)^2\right]\left[\left(a^2\right)^2+\left(b^2\right)^2\right]\ge\left(a^6+b^6\right)^2-\left(a^6+b^6\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(a^{10}+b^{10}\right)\left(a^2+b^2\right)-\left(a^8+b^8\right)\left(a^4+b^4\right)\) \(\ge\) 0
\(\Leftrightarrow\) \(\left(a^{10}+b^{10}\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a^8+b^8\right)\left(a^4+b^4\right)\)
Dấu bằng xảy ra khi a=b
15 tháng 1 2021
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
\(a^{10}b^2+b^{10}a^2\ge a^8b^4+b^8a^4\)
\(\Leftrightarrow a^8+b^8\ge a^6b^2+b^6a^2\) (Do \(a^2b^2\ge0\))
\(\Leftrightarrow\left(a^6-b^6\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2\left(a^4+a^2b^2+b^4\right)\ge0\) (luôn đúng).
Vậy ta có đpcm.
15 tháng 7 2016
1) Ta sẽ chứng minh bằng biến đổi tương đương như sau :
Ta có : \(\left(x^{10}+y^{10}\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x^8+y^8\right)\left(x^4+y^4\right)\left(1\right)\)
\(\Leftrightarrow x^{12}+x^{10}y^2+y^{10}x^2+y^{12}\ge x^{12}+x^8y^4+y^8x^4+y^{12}\)
\(\Leftrightarrow x^{10}y^2+y^{10}x^2\ge x^8y^4+y^8x^4\)
\(\Leftrightarrow x^2y^2\left(x^8+y^8-x^6y^2-x^2y^6\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2y^2\left[\left(x^8-x^6y^2\right)+\left(y^8-x^2y^6\right)\right]\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2y^2\left(x^6-y^6\right)\left(x^2-y^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2y^2\left(x^3-y^3\right)\left(x^3+y^3\right)\left(x^2-y^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2y^2\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)^2\left(x^2-xy+y^2\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\)(2)
Ta thấy : \(x^2-xy+y^2=\frac{\left(x^2-2xy+y^2\right)+x^2+y^2}{2}=\frac{\left(x-y\right)^2+x^2+y^2}{2}\ge0\)
\(x^2+xy+y^2=\frac{\left(x+y\right)^2+x^2+y^2}{2}\ge0\) ; \(x^2y^2\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)^2\ge0\)
Do đó (2) luôn đúng.
Vậy (1) được chứng minh.
8 tháng 1 2020
\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)+abc\)
\(=abc+a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2+abc+abc\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)( phân tích nhân tử các kiểu )
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\left(1\right)\)
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc};ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\ge9abc\)
\(\Rightarrow-abc\ge\frac{-\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\)
Khi đó:\(\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\)
\(\ge\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-\frac{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\)
\(=\frac{8\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) và ( 2 ) có đpcm
\(\left(a^{10}+b^{10}\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\)\(\left(a^8+b^8\right)\left(a^4+b^4\right)\)
\(\Leftrightarrow a^{10}b^2+a^2b^{10}\ge a^8b^4+a^4b^8\)
\(\Leftrightarrow a^8+b^8\ge a^6b^2+a^2b^6\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)\left(a^6-b^6\right)\ge0\)
Vì a^2-b^2 va a^6-b^6 cùng dấu nên ta có điều phải chứng minh.
bn có thể giải rõ hơn ko?